Росатом 2025/26 · Математика · 8 кл., №3 — решение · финал

Условие

Найдите все действительные значения $a$ при которых один корень уравнения

x^2+ax+\frac{16}{81}=0

равен кубу другого корня.

О задаче · 8 класс · 3 баллов

Олимпиада: Росатом
Предмет / класс: Математика · 8 класс
Сезон / этап: 2025/26 · Заключительный этап
Комплект: Вариант 1 · задача 3

Официальные баллы3 баллов

Сложность Popov Academy2/5 · предварительно

Для подготовки: 8 класс.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Обозначьте корни $t$ и $t^3$ По какой формуле их произведение можно узнать без параметра $a$

Подсказка 2

Сначала решите $t^4=\frac{16}{81}$ Затем используйте сумму корней $-a$ Не забудьте оба знака $t$

Разобрать решение по шагам

Свяжем корни до поиска параметра

В общей формуле корней пришлось бы сразу работать с параметром $a$ Связь между корнями даёт более короткий ход: обозначим их $t$ и $t^3$

По теореме Виета произведение корней приведённого квадратного уравнения равно свободному члену:

t\cdot t^3=\frac{16}{81},\qquad t^4=\frac{16}{81}.

Так как $t^2\ge0$ сначала получаем $t^2=\frac49$ а затем две возможности:

t=\frac23\quad\text{или}\quad t=-\frac23.

Восстановим параметр по сумме корней

По второй формуле Виета сумма корней равна $-a$

При $t=\frac23$

t^3=\frac8{27},\qquad -a=\frac23+\frac8{27}=\frac{18+8}{27}=\frac{26}{27}.

Значит, $a=-\frac{26}{27}$

При $t=-\frac23$ оба корня отрицательны:

t^3=-\frac8{27},\qquad -a=-\frac23-\frac8{27}=-\frac{26}{27}.

Поэтому $a=\frac{26}{27}$

Проверим, что найденные корни существуют

Обратная проверка нужна, чтобы не ограничиться необходимым условием. Для двух найденных значений параметра имеем:

x^2-\frac{26}{27}x+\frac{16}{81}=\left(x-\frac23\right)\left(x-\frac8{27}\right),

x^2+\frac{26}{27}x+\frac{16}{81}=\left(x+\frac23\right)\left(x+\frac8{27}\right).

В первом случае $\left(\frac23\right)^3=\frac8{27}$ , во втором $\left(-\frac23\right)^3=-\frac8{27}$ . Оба значения подходят. Других действительных $t$ у уравнения $t^4=\frac{16}{81}$ нет.

Ответ

$a=-\frac{26}{27}$ или $a=\frac{26}{27}$

Главная идея

Связь между корнями позволяет выразить их через одну величину; затем произведение и сумма по Виету определяют и корни, и параметр.

Как заметить эту идею в другой задаче

Если один корень выражен через другой, например как его степень, сначала подставьте эту связь в произведение или сумму корней. Выберите то соотношение, в котором меньше неизвестных.

Возможная ошибка

Взять только положительный $t$ из $t^4=\frac{16}{81}$ или перепутать знак: сумма корней равна $-a$ а не $a$

Источник и примечания

Официальный источник

PDF организатора · страницы 2 · задача 3 ↗

Росатом · 2025/26 · математика · 8 класс · заключительный этап · вариант 1.

Сохранён существующий учебный разбор. При этой редакции проверены преобразования формул и данные схем; нового независимого сравнения с оригиналом и официальным решением не проводилось.

Можете объяснить решение своими словами?

Продолжить тему: Параметры и число корней →

Тема, знания и приёмы

Параметры и число корней · Нужна школьная база

Квадратные уравнения
Теорема Виета
Целые степени и извлечение корня

Приёмы решения: Теорема Виета

Задать вопрос по задаче →