Произведение и крайние числа

Разложим произведение и рассмотрим крайние числа

Начнём с простых множителей:

Обозначим минимум набора через $a$, максимум через $b$. По условию $b=3a$, так что это два разных числа. Каждый элемент набора — делитель $2673$ и содержит только множители $3$ и $11$.

Если бы $b$ делилось на $11$, то $a=\frac b3$ тоже делилось бы на $11$: деление на $3$ не убирает множитель $11$. Тогда уже произведение двух крайних чисел содержало бы $11^2$. Но во всём произведении есть только одна одиннадцатка. Значит, ни $a$, ни $b$ не делятся на $11$.

Получим нижнюю границу для максимума

Раз в $b$ нет множителя $11$, это степень тройки:

Одиннадцатка всё-таки должна попасть в какое-то число набора. Это число не меньше $11$, поэтому и максимум $b$ не меньше $11$.

Первые степени тройки — $3$, $9$, $27$. Первые две меньше $11$, значит, $k\ge3$.

Посчитаем, сколько троек уже заняли крайние числа

При $k=3$ минимум содержит две тройки, максимум — три; вместе как раз пять. При большем $k$ троек потребовалось бы больше, чем есть в разложении $2673$.

Запишем этот подсчёт для любого $k$:

Поскольку $ab$ входит в общее произведение $3^5\cdot11$,

Вместе с $k\ge3$ получаем $k=3$, поэтому $a=9$ и $b=27$.

Восстановим середину и докажем единственность

Убираем найденные крайние числа из произведения:

Все оставшиеся числа не меньше минимума $9$. Два таких числа дали бы произведение хотя бы $81$, а единицы также недопустимы. Следовательно, остаётся ровно одно число — $11$.

Проверка условий:

Итак, набор единственный с точностью до порядка; повторения не породили других возможностей.