Точка на стороне четырёхугольника

Сравним два разбиения одной площади

Искомый треугольник не имеет с двумя данными треугольниками общей высоты к основаниям $AM$ и $AB$. Поэтому нельзя сразу умножить $2$ на $\frac13$.

Введём временно площади $p=S_{ABC}$ и $q=S_{ABD}$. Диагональ $AC$ разбивает четырёхугольник на $ABC$ и $ACD$, а диагональ $BD$ — на $ABD$ и $BCD$. Получаем два выражения для одной и той же площади:

Следовательно,

Мы пока не знаем $p$ и $q$ по отдельности, но уже знаем их разность. Первые два состояния схемы ниже показывают именно эти два разбиения.

Используем отношение оснований там, где высота общая

Из $AM=\frac{AB}{3}$ следует $MB=\frac{2AB}{3}$.

Треугольники $AMD$ и $ABD$ имеют общую высоту из $D$ к прямой $AB$. Площадь равна половине произведения основания на высоту, поэтому при одинаковой высоте площади относятся как основания:

Точно так же у $MBC$ и $ABC$ общая высота из $C$:

Высота может попадать и на продолжение стороны — соотношение площадей остаётся верным.

Вычтем две крайние части

Поскольку четырёхугольник выпуклый, отрезки $MC$ и $MD$ разбивают его на три треугольника: $AMD$, $MCD$ и $MBC$. От общей площади $p+2$ вычтем две уже выраженные части:

Собираем слагаемые с $p$ и используем найденную разность:

Отдельные значения $p$ и $q$ сократились, поэтому искать их не требовалось. В последнем состоянии схемы показаны все три части.