Шаг в будущее 2025/26 · Математика · 8 кл., №9

Условие

Найдите все решения в натуральных числах уравнения $ab-4a^2=220+b$ такие, что и a, и b кратны 5, и 86 < a+b < 111. В ответ укажите сумму a+b. Если таких решений несколько, в ответ запишите их количество

О задаче · 8 класс · 14 баллов

Олимпиада: Шаг в будущее
Предмет / класс: Математика · 8 класс
Сезон / этап: 2025/26 · Отборочный этап
Комплект: Вариант 1 · задача 9

Официальные баллы14 балловСумма максимумов по критериям: 100.

Сложность Popov Academy3/5 · предварительно

Для подготовки: 8 класс.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Подсказка 1

Перенесите слагаемое $b$ влево и вынесите его: получится $(a-1)b=4a^2+220$ Попробуйте и справа выделить часть с множителем $a-1$ Для этого пригодится $a^2-1=(a-1)(a+1)$

Подсказка 2

Запишите $4a^2+220$ как $4(a^2-1)$ и оставшееся постоянное число. После переноса получится произведение двух целых множителей. Первый множитель $a-1$ должен быть положительным делителем полученной константы.

Разобрать решение по шагам

Превратим уравнение в произведение целых чисел

Из-за двух неизвестных прямой перебор неудобен. Если получить произведение целых множителей, равное известному числу, останется конечный список делителей. Перенесём $b$ влево:

ab-b=4a^2+220,\qquad (a-1)b=4a^2+220.

Слева есть множитель $a-1$ Он появится и справа, если превратить $a^2$ в $a^2-1$ Для этого вычтем $4$ но сразу компенсируем его добавлением к $220$

\begin{aligned} 4a^2+220&=4a^2-4+224\\[0.45em] &=4(a^2-1)+224\\[0.45em] &=4(a-1)(a+1)+224. \end{aligned}

Теперь переносим часть с $a-1$ влево и выносим этот множитель:

\begin{aligned} (a-1)b-4(a-1)(a+1)&=224,\\[0.45em] (a-1)(b-4a-4)&=224. \end{aligned}

Ограничим первый множитель списком делителей

Так как $a$ натуральное и кратно $5$ имеем $a\ge5$ Поэтому $d=a-1$ — положительный делитель $224$ При этом $a$ оканчивается на $0$ или $5$ значит, $d$ даёт остаток $4$ при делении на $5$ Разложение $224=2^5\cdot7$ показывает все делители: это степени двойки от $1$ до $32$ и те же степени, умноженные на $7$ По возрастанию получаем

1,2,4,7,8,14,16,28,32,56,112,224.

Остаток $4$ при делении на $5$ имеют только $4$ $14$ и $224$

Восстановим обе переменные и проверим ограничения

Из $d=a-1$ и произведения получаем

a=d+1,\qquad b=4a+4+\frac{224}{d}.

Рассчитаем все три пары. В каждой паре оба числа натуральные и кратны $5$ но подходит только одна сумма.

$d$	$a$	$b$	$a+b$	Условие $86<a+b<111$
$4$	$5$	$4\cdot5+4+56=80$	$85$	Нет: слишком мало
$14$	$15$	$4\cdot15+4+16=80$	$95$	Да
$224$	$225$	$4\cdot225+4+1=905$	$1130$	Нет: слишком много

Проверим найденную пару в исходной записи

Для $(a,b)=(15,80)$

15\cdot80-4\cdot15^2=1200-900=300,

220+b=220+80=300.

Все ограничения соблюдены, других кандидатов из полного списка делителей нет. Решение одно, поэтому по инструкции задачи записываем сумму $15+80=95$ а не количество решений.

Ответ

Единственная пара: $(a,b)=(15,80)$ В бланк ответа: $95$

Главная идея

Выделить произведение целых множителей с постоянным значением, а затем отфильтровать конечный список делителей по исходным ограничениям.

Как заметить эту идею в другой задаче

В некоторых целочисленных уравнениях полезно выделить общий множитель, превратив уравнение в произведение, равное константе. Тогда делители константы дают список кандидатов. Приём помогает, если такое преобразование удаётся; это не универсальный алгоритм для всех уравнений в целых числах.

Возможная ошибка

Принять подходящий делитель за готовое решение, не проверив кратность и ограничение на сумму.

Источник и примечания

Официальный источник

PDF организатора · страницы 5 · задача 9 ↗

Шаг в будущее · 2025/26 · математика · 8 класс · отборочный этап · вариант 1.

Авторский разбор Popov Academy.

Можете объяснить решение своими словами?

Продолжить тему: Уравнения в целых числах →

Тема, знания и приёмы

Уравнения в целых числах · Нужна школьная база

Разность квадратов
Вынесение общего множителя
Делители натурального числа
Кратность 5

Приёмы решения: Разложение на множители · Ограниченный перебор

Задать вопрос по задаче →