Физтех 2026/27 · Физика · 10 кл., №9 — решение · Отборочный этап

Условие

С одноатомным идеальным газом проводят цикл $1$ – $2$ – $3$ – $4$ – $1$ (см. рис.), $n = 2$ $k = 3$

Найдите КПД цикла. В ответе укажите целое число процентов.

Рисунок к условию

О задаче · 10 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Отборочный этап, второй тур (2 попытка, 25.10.2026)
Предмет / класс: Физика · 10 класс
Сезон: 2026/27

КПД — это работа за цикл, делённая на тепло, которое газ получил (а не на всё тепло, которым обменялся). Разберись, на каких участках газ получает тепло. Ниже можно сверить ответ в процентах.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеЦикл на диаграмме

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Цикл на диаграмме

Где газ получает тепло и как КПД зависит от n и k?

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Если модель не открылась, попробуй так: подпиши температуры в вершинах прямоугольника через PV.

Подсказка 1

Работа за цикл — площадь прямоугольника: $(kP_0 - P_0)(nV_0 - V_0)$ Выражай всё в единицах $P_0V_0$

Подсказка 2

Газ получает тепло там, где растёт температура ( $T \propto PV$ ): на изохоре $1\to 2$ ( $Q = \Delta U = \frac{3}{2}\Delta(PV)$ ) и на изобаре $2\to 3$ ( $Q = \frac{5}{2}P\Delta V$ ). На $3\to 4$ и $4\to 1$ он тепло отдаёт.

Разобрать решение по шагам

Работа за цикл

Цикл обходится по часовой стрелке — газ совершает положительную работу, равную площади прямоугольника:

A = (k - 1)P_0\cdot(n - 1)V_0 = 2\cdot 1\cdot P_0V_0 = 2\,P_0V_0.

Где газ получает тепло

Температура пропорциональна $PV$ в точках $1, 2, 3, 4$ она равна $T_1$ $kT_1$ $knT_1$ $nT_1$ Она растёт на $1\to 2$ и $2\to 3$ — там тепло подводится; на $3\to 4$ и $4\to 1$ — отводится.

Изохора $1\to 2$ работа нулевая, $Q_{12} = \Delta U = \dfrac{3}{2}(k - 1)P_0V_0 = 3\,P_0V_0$ .

Изобара $2\to 3$

Q_{23} = \Delta U + A_{23} = \dfrac{3}{2}kP_0(n - 1)V_0 + kP_0(n - 1)V_0 = \dfrac{5}{2}k(n - 1)P_0V_0 = 7{,}5\,P_0V_0

КПД

\eta = \frac{A}{Q_{12} + Q_{23}} = \frac{(k - 1)(n - 1)}{\frac{3}{2}(k - 1) + \frac{5}{2}k(n - 1)} = \frac{2(k - 1)(n - 1)}{3(k - 1) + 5k(n - 1)} = \frac{2\cdot 2\cdot 1}{6 + 15} = \frac{4}{21} \approx 0{,}19.

Ответ: $19\,\%$ Для сравнения: цикл Карно между $T_1$ и $knT_1$ имел бы КПД $1 - 1/6 \approx 83\,\%$ — прямоугольный цикл далёк от идеального.

Проверка

Проверка через отданное тепло: $Q_{34} = \frac{3}{2}(k - 1)nP_0V_0 = 6\,P_0V_0$ , $Q_{41} = \frac{5}{2}(n - 1)P_0V_0 = 2{,}5\,P_0V_0$ ; $Q_{\text{получ}} - Q_{\text{отд}} = 10{,}5 - 8{,}5 = 2\,P_0V_0 = A$ — сходится. Независимо: цикл проинтегрирован малыми шагами с подсчётом положительных теплот $dQ = dU + p\,dV$ (review/calc/p10r2.py) — $19{,}05\,\%$ Другие версии по $2(k - 1)(n - 1)/[3(k - 1) + 5k(n - 1)]$ : ID 6269 ( $n = 5$ $k = 4$ ) — $27\,\%$ ID 6270 ( $8$ $6$ ) — $31\,\%$ ID 6271 ( $12$ $12$ ) — $35\,\%$

Ответ

$\eta = \dfrac{2(k - 1)(n - 1)}{3(k - 1) + 5k(n - 1)} = \dfrac{4}{21} \approx 19\,\%$ .

Ответ

$\eta = \dfrac{2(k - 1)(n - 1)}{3(k - 1) + 5k(n - 1)} = \dfrac{4}{21} \approx 19\,\%$ .

Главная идея

Работа — площадь прямоугольника, а тепло получается только на двух участках роста температуры: изохоре (3/2 ΔPV) и изобаре (5/2 PΔV).

Прямоугольный цикл на P–V — площадь плюс тепло на участках нагрева через ΔU и работу.

Где легко ошибиться

Делить работу на всё подведённое и отведённое тепло; считать Q на изобаре как (3/2)PΔV без работы; брать КПД Карно по крайним температурам.

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · физика · 10 класс · 2026/27 · отборочный этап, второй тур (2 попытка, 25.10.2026). Задача 9, версия с ID 6268 — первая в официальном файле; другие версии этого номера (ID 6269, 6270, 6271) можно выбрать в модели.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 15) ↗ · Указания к решению от организатора ↗ · Архив заданий олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора, рисунок перерисован по нему. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение записано до знакомства с указаниями организатора; затем ответы всех четырёх версий совпадают с результатом подстановки данных в формулу из указаний организатора (числовых ответов по версиям в указаниях нет) («Указания к решению задач олимпиады «Физтех»: Физика 10 класс (2 попытка 2026/27)», стр. 3 ↗).

Продолжить тему: Газы и термодинамика →

Тема, знания и приёмы

Газы и термодинамика · Нужна школьная база

Работа газа как площадь под графиком P(V)
Внутренняя энергия одноатомного газа 3/2 νRT = 3/2 PV
Определение КПД цикла

Приёмы решения: Первый закон для цикла · Закон сохранения энергии

Задать вопрос по задаче →