Физтех 2026/27 · Физика · 10 кл., №8 — решение · Отборочный этап

Условие

Один моль гелия находится при нормальных условиях: $V = 22{,}4$ дм³, $T = 273{,}15$ К. Далее при медленном расширении к газу подводится количество теплоты $\Delta Q = n\cdot\Delta U$ , здесь $n = 3{,}6$ $\Delta U$ — приращение внутренней энергии газа. В этом процессе абсолютная температура газа увеличивается на $\Delta T = 1{,}0$ К. В процессе расширения относительные приращения параметров состояния — малые величины.

Найдите приращение объёма газа в этом процессе. Ответ приведите в [см³] с округлением до целых.

О задаче · 10 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Отборочный этап, второй тур (2 попытка, 25.10.2026)
Предмет / класс: Физика · 10 класс
Сезон: 2026/27

Тепло $\Delta Q$ больше, чем прирост внутренней энергии, — остаток ушёл в работу. А работа при малом расширении — это $p\Delta V$ Ниже можно сверить ответ в см³.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеГелий под поршнем

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Гелий под поршнем

Какое приращение объёма соответствует работе, оставшейся от тепла после нагрева газа?

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Если модель не открылась, попробуй так: посчитай ΔU, вычти из ΔQ и раздели на давление.

Подсказка 1

Первое начало: $\Delta Q = \Delta U + A$ Для одноатомного гелия $\Delta U = \frac{3}{2}R\Delta T$ (один моль). Выдели работу $A = (n - 1)\Delta U$

Подсказка 2

Приращения малы, значит давление за время расширения почти постоянно: $A = p\Delta V$ а $p = RT/V$ по уравнению состояния. Отсюда $\Delta V$

Разобрать решение по шагам

Сколько тепла идёт в работу

Для одного моля одноатомного газа $\Delta U = \dfrac{3}{2}R\Delta T = 1{,}5\cdot 8{,}31\cdot 1{,}0 = 12{,}47$ Дж. По условию $\Delta Q = n\Delta U = 44{,}87$ Дж, значит по первому началу термодинамики газ совершил работу

A = \Delta Q - \Delta U = (n - 1)\cdot\frac{3}{2}R\Delta T = 2{,}6\cdot 12{,}47 = 32{,}41\ \text{Дж}.

Работа при малом расширении

Относительные приращения малы ( $\Delta T/T \approx 0{,}4\%$ ), поэтому давление за время расширения можно считать постоянным: $A = p\Delta V$ где $p = \dfrac{RT}{V}$ — давление в исходном состоянии ( $101{,}3$ кПа при нормальных условиях). Тогда

\Delta V = \frac{A}{p} = \frac{AV}{RT} = \frac{3}{2}(n - 1)\frac{\Delta T}{T}\,V = 1{,}5\cdot 2{,}6\cdot\frac{1{,}0}{273{,}15}\cdot 22\,400\ \text{см}^3 \approx 320\ \text{см}^3.

Замечание о точности

Условие задаёт отношение полных приращений $\Delta Q=n\Delta U$ и прямо разрешает линейное приближение. Этого достаточно для ответа $320$ см³, но недостаточно, чтобы восстановить точную зависимость давления от объёма на всём пути.

Если дополнительно потребовать $\delta Q=n\,dU$ на каждом малом шаге, получится постоянная теплоёмкость $C=3nR/2$ и политропа $V\propto T^{3(n-1)/2}=T^{3{,}9}$ . Только для этой дополнительной модели

\Delta V=V\big[(1+\Delta T/T)^{3{,}9}-1\big]\approx321{,}6\ \text{см}^3.

Разница с линейным результатом около $0{,}5\%$ Это пример оценки влияния отброшенных членов, а не второй обязательный ответ исходной задачи. Выбирать между формулами по вкусу не нужно: в условии указано приближение малых приращений.

Проверка

Проверка единиц: $p_0\Delta V\approx101{,}3\cdot10^3\cdot3{,}2\cdot10^{-4}=32{,}4$ Дж, как и работа из первого начала. Собственная сверка GPT-2 по четырём наборам даёт ID6264:320, ID6265:584, ID6266:498, ID6267:251 см³ после округления. При дополнительном политропическом законе из шага3 получаются соответственно322,589,501,252 см³; эти числа описывают именно названную дополнительную модель. Для произвольного конечного процесса одно интегральное отношение теплот его точный путь не определяет.

Ответ

$\Delta V = \dfrac{3}{2}(n - 1)\dfrac{\Delta T}{T}\,V \approx 320$ см³ (в приближении малых приращений, как требует условие).

Ответ

$\Delta V = \dfrac{3}{2}(n - 1)\dfrac{\Delta T}{T}\,V \approx 320$ см³ (в приближении малых приращений, как требует условие).

Главная идея

Первое начало выделяет работу как (n − 1)ΔU, а при малых приращениях работа равна pΔV с исходным давлением.

Тепло задано через внутреннюю энергию, приращения малы — первое начало плюс A = pΔV.

Где легко ошибиться

Брать A = ΔQ (забывая ΔU); использовать ΔU = (5/2)RΔT (это для двухатомного); не переводить дм³ в см³ (ответ в 1000 раз меньше).

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · физика · 10 класс · 2026/27 · отборочный этап, второй тур (2 попытка, 25.10.2026). Задача 8, версия с ID 6264 — первая в официальном файле; другие версии этого номера (ID 6265, 6266, 6267) можно выбрать в модели.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 14) ↗ · Указания к решению от организатора ↗ · Архив заданий олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение записано до знакомства с указаниями организатора; затем ответы совпадают с результатом подстановки данных в формулу из указаний организатора (числовых ответов по версиям в указаниях нет); уточнение ниже («Указания к решению задач олимпиады «Физтех»: Физика 10 класс (2 попытка 2026/27)», стр. 3 ↗). Ответ зависит от приближения малых приращений, которое задано условием; точный расчёт отличается на 0,5–0,8 %.

Продолжить тему: Газы и термодинамика →

Тема, знания и приёмы

Газы и термодинамика · Нужна школьная база

Первое начало термодинамики
Внутренняя энергия одноатомного газа
Уравнение Менделеева — Клапейрона и работа pΔV

Приёмы решения: Закон сохранения энергии · Удачная подстановка или замена

Задать вопрос по задаче →