Физтех 2026/27 · Физика · 10 кл., №10 — решение · Отборочный этап

Условие

Заряженные шарики покоятся в поле тяжести (см. рис.), $m = 10$ г. Ускорение свободного падения $g = 10$ м/с².

Найдите силу натяжения длинной нити. В ответе укажите целое число [мН].

*Указание.* В результате опытов Кулон установил, что два точечных неподвижных заряда $Q_1$ и $Q_2$ находящиеся в вакууме на расстоянии $r$ друг от друга, взаимодействуют с силами, направленными вдоль прямой, соединяющей эти заряды, и равными по величине $F = k\dfrac{|Q_1|\cdot|Q_2|}{r^2}$ , здесь $k$ — коэффициент пропорциональности, зависящий от выбранной системы единиц. Одноимённые заряды будут отталкиваться друг от друга, а разноимённые — притягиваться.

Рисунок к условию

О задаче · 10 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Отборочный этап, второй тур (2 попытка, 25.10.2026)
Предмет / класс: Физика · 10 класс
Сезон: 2026/27

Заряды не даны — значит, сила Кулона найдётся из равновесия или вовсе не понадобится. Посмотри внимательно на треугольник из нитей и отрезка между шариками. Ниже можно сверить ответ в мН.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеПара шариков на нитях

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Пара шариков на нитях

Как наклонена пара нитей и какая сила держит дальний шарик?

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Если модель не открылась, попробуй так: найди расстояние между шариками и проверь треугольник на прямой угол.

Подсказка 1

Расстояние между шариками по теореме косинусов: $\sqrt{L^2 + 4L^2 - 2\cdot 2L^2\cos 60^\circ} = \sqrt 3\,L$ . Треугольник $L$ $2L$ $\sqrt3 L$ — прямоугольный; где прямой угол?

Подсказка 2

Силы Кулона — внутренние, натяжения проходят через точку подвеса: момент сил тяжести относительно неё равен нулю, центр масс висит точно под точкой подвеса. Это задаёт наклон нитей. Потом для дальнего шарика спроецируй силы на короткую нить — сила Кулона ей перпендикулярна.

Разобрать решение по шагам

Геометрия: прямой угол у короткой нити

Расстояние между шариками: $d^2 = L^2 + (2L)^2 - 2\cdot L\cdot 2L\cos 60^\circ = 3L^2$ , $d = \sqrt3\,L$ Так как $L^2 + d^2 = (2L)^2$ треугольник «точка подвеса — шарик 1 — шарик 2» прямоугольный с прямым углом у шарика на короткой нити. Значит отрезок между шариками — а вдоль него действует сила Кулона — перпендикулярен короткой нити.

Как висит вся пара

Рассмотрим оба шарика вместе. Кулоновские силы — внутренние, натяжения нитей проходят через точку подвеса $O$ поэтому момент относительно $O$ создают только силы тяжести, и он должен быть нулевым: центр масс висит точно под $O$ Если короткая нить отклонена от вертикали на $\theta_1$ (вправо), а длинная на $\theta_2$ (влево), то $L\sin\theta_1 = 2L\sin\theta_2$ при $\theta_1 + \theta_2 = 60^\circ$ :

\sin(60^\circ - \theta_2) = 2\sin\theta_2\ \Rightarrow\ \frac{\sqrt3}{2}\cos\theta_2 = \frac{5}{2}\sin\theta_2\ \Rightarrow\ \mathrm{tg}\,\theta_2 = \frac{\sqrt3}{5},\quad \cos\theta_2 = \frac{5}{\sqrt{28}},\ \sin\theta_2 = \frac{\sqrt3}{\sqrt{28}}.

Натяжение длинной нити

На дальний шарик действуют $T_2$ (вдоль длинной нити к $O$ ), $mg$ и сила Кулона $F$ вдоль отрезка между шариками. Спроецируем на направление короткой нити: $F$ ей перпендикулярна и выпадает; угол между нитями $60^\circ$ угол между короткой нитью и вертикалью $\theta_1$

T_2\cos 60^\circ = mg\cos\theta_1\quad\Rightarrow\quad T_2 = 2mg\cos\theta_1.

\cos\theta_1 = \cos(60^\circ - \theta_2) = \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{5}{\sqrt{28}} + \dfrac{\sqrt3}{2}\cdot\dfrac{\sqrt3}{\sqrt{28}} = \dfrac{4}{\sqrt{28}} = \dfrac{2}{\sqrt7}

, поэтому

T_2 = \frac{4mg}{\sqrt7} = \frac{4\cdot 0{,}01\cdot 10}{2{,}6458} \approx 0{,}1512\ \text{Н} \approx 151\ \text{мН}.

Проверка

Проверка остальных уравнений: $\theta_2 \approx 19{,}1^\circ$ , $\theta_1 \approx 40{,}9^\circ$ ; из горизонтального баланса пары $T_1 = T_2\sin\theta_2/\sin\theta_1 \approx 75{,}6$ мН, вертикальный баланс $T_1\cos\theta_1 + T_2\cos\theta_2 = 57{,}1 + 142{,}9 = 200$ мН $= 2mg$ — сходится; сила Кулона из баланса дальнего шарика $F = T_2\sin\theta_2/\cos\theta_1 \approx 65{,}5$ мН, и для ближнего шарика $T_1$ $mg$ $F$ тоже уравновешены. Независимо: подбор угла короткой нити бисекцией по моментам сил каждого шарика (review/calc/p10r2.py) даёт $151{,}19$ мН. Другие версии по $4mg/\sqrt7$ ID 6273 ( $8$ г) — $121$ мН; ID 6274 ( $6$ г) — $91$ мН; ID 6275 ( $2$ г) — $30$ мН.

Ответ

$T_2 = \dfrac{4mg}{\sqrt7} \approx 151$ мН.

Ответ

$T_2 = \dfrac{4mg}{\sqrt7} \approx 151$ мН.

Главная идея

Треугольник L, 2L, √3L прямоугольный, поэтому сила Кулона перпендикулярна короткой нити; наклон пары задаёт центр масс под точкой подвеса, а проекция на короткую нить даёт T₂ без зарядов.

Два шарика на нитях из одной точки с неизвестными зарядами — момент относительно подвеса и проекция на удобное направление, исключающее силу Кулона.

Где легко ошибиться

Считать, что нити симметричны относительно вертикали; пытаться найти заряды; забывать, что сила Кулона действует вдоль прямой между шариками, а не горизонтально.

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · физика · 10 класс · 2026/27 · отборочный этап, второй тур (2 попытка, 25.10.2026). Задача 10, версия с ID 6272 — первая в официальном файле; другие версии этого номера (ID 6273, 6274, 6275) можно выбрать в модели.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 18) ↗ · Указания к решению от организатора ↗ · Архив заданий олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора, рисунок перерисован по нему. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение записано до знакомства с указаниями организатора; затем ответы всех четырёх версий совпадают с результатом подстановки данных в формулу из указаний организатора (числовых ответов по версиям в указаниях нет) («Указания к решению задач олимпиады «Физтех»: Физика 10 класс (2 попытка 2026/27)», стр. 3 ↗).

Продолжить тему: Электростатика →

Тема, знания и приёмы

Электростатика · Начальный вход

Теорема косинусов и обратная теорема Пифагора
Условие равновесия: сумма сил и моментов
Проекция сил на выбранное направление

Приёмы решения: Баланс моментов сил · Уравнение сил

Задать вопрос по задаче →