Физтех 2026/27 · Физика · 10 кл., №7 — решение · Отборочный этап

Условие

Две шайбы движутся по прямой $AB$ (см. рис.), $V = 2$ м/с. Происходит абсолютно упругое соударение. Трения нет.

На каком максимальном расстоянии от прямой $AB$ может находиться массивная шайба через $T = 0{,}5$ с после соударения? Ответ приведите в [м] с округлением до десятых.

Рисунок к условию

О задаче · 10 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Отборочный этап, второй тур (2 попытка, 25.10.2026)
Предмет / класс: Физика · 10 класс
Сезон: 2026/27

«Максимальном» — значит удар может быть нецентральным, и шайбы разлетятся под углом к $AB$ В какой системе отсчёта такой удар выглядит проще всего? Ниже можно сверить ответ в метрах.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеРазлёт шайб

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Разлёт шайб

Как разлетаются шайбы при нецентральном ударе и как далеко массивная уходит от AB?

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Если модель не открылась, попробуй так: найди скорость центра масс и скорости шайб относительно него.

Подсказка 1

Перейди в систему центра масс: она движется вдоль $AB$ со скоростью $(4mV - mV)/(5m) = 3V/5$ Найди скорости шайб в ней.

Подсказка 2

В системе центра масс при упругом ударе модули скоростей не меняются, меняется только направление (суммарный импульс нулевой, энергия та же). Центр масс остаётся на $AB$ поэтому расстояние массивной шайбы от прямой — её поперечная скорость в этой системе, умноженная на $T$

Разобрать решение по шагам

Система центра масс

Скорость центра масс направлена вдоль $AB$

V_{\text{ц}} = \frac{4m\cdot V - m\cdot V}{5m} = \frac{3V}{5} = 1{,}2\ \text{м/с}.

В этой системе массивная шайба движется со скоростью $V - 3V/5 = 2V/5 = 0{,}8$ м/с, лёгкая — навстречу со скоростью $V + 3V/5 = 8V/5 = 3{,}2$ м/с; их импульсы равны по модулю и противоположны.

Что делает упругий удар в этой системе

Суммарный импульс в системе центра масс равен нулю, значит и после удара скорости шайб противоположны по направлению с тем же отношением модулей $1 : 4$ Кинетическая энергия сохраняется, поэтому модули остаются прежними: $2V/5$ и $8V/5$ Единственное, что меняется, — направление общей линии разлёта: оно зависит от того, насколько удар нецентральный (от прицельного расстояния), и может быть любым.

Наибольшее расстояние от AB

Центр масс движется по $AB$ и с прямой не сходит. Расстояние массивной шайбы от $AB$ через время $T$ — это поперечная составляющая её скорости в системе центра масс, умноженная на $T$ Она наибольшая, когда скорость $2V/5$ направлена перпендикулярно $AB$

y_{\max} = \frac{2V}{5}\,T = 0{,}8\cdot 0{,}5 = 0{,}4\ \text{м}.

Такой разлёт действительно достижим: при подходящем прицельном расстоянии линия удара составляет $45^\circ$ с $AB$ При строго центральном ударе круглых шайб с центрами на одной прямой $AB$ линия центров совпадает с направлением скоростей, поперечный импульс равен нулю и расстояние от $AB$ остаётся нулевым. Ненулевой максимум выше относится к явно выбранному стандартному допущению о допустимых нецентральных ударах, а не следует из одной лишь коллинеарности скоростей.

Проверка

Проверка в лабораторной системе: при разлёте перпендикулярно $AB$ массивная шайба имеет скорость $(1{,}2;\ 0{,}8)$ м/с, лёгкая $(1{,}2;\ -3{,}2)$ м/с; импульс $4m\cdot(1{,}2; 0{,}8) + m\cdot(1{,}2; -3{,}2) = m(6; 0) = 4mV - mV$ вдоль $AB$ — сохранился; энергия $\frac{1}{2}m(4\cdot 2{,}08 + 11{,}68) = 10m = \frac{1}{2}m(4 + 1)V^2$ — сохранилась. Независимо: явный расчёт упругого удара гладких дисков для всех прицельных расстояний (review/calc/p10r2.py) даёт наибольшую поперечную скорость $0{,}8$ м/с и $0{,}4$ м. Другие версии по $2VT/5$ ID 6261 ( $1$ м/с, $2$ с) — $0{,}8$ м; ID 6262 ( $4$ м/с, $1$ с) — $1{,}6$ м; ID 6263 ( $3$ м/с, $2$ с) — $2{,}4$ м.

Ответ

$y_{\max} = \dfrac{2V}{5}T = 0{,}4$ м.

Ответ

$y_{\max} = \dfrac{2V}{5}T = 0{,}4$ м.

Главная идея

В системе центра масс упругий удар только поворачивает скорости, не меняя модулей; центр масс остаётся на AB, поэтому наибольшее удаление — поперечная скорость 2V/5, умноженная на T.

Нецентральный упругий удар, спрашивают «максимальное» отклонение — система центра масс и поворот скоростей.

Где легко ошибиться

Считать удар центральным (тогда шайбы остаются на AB); брать скорость массивной шайбы в лаборатории вместо её скорости в системе центра масс; забывать, что центр масс не сходит с AB.

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · физика · 10 класс · 2026/27 · отборочный этап, второй тур (2 попытка, 25.10.2026). Задача 7, версия с ID 6260 — первая в официальном файле; другие версии этого номера (ID 6261, 6262, 6263) можно выбрать в модели.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 12) ↗ · Указания к решению от организатора ↗ · Архив заданий олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора, рисунок перерисован по нему. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение записано до знакомства с указаниями организатора; затем ответы всех четырёх версий совпадают с результатом подстановки данных в формулу из указаний организатора (числовых ответов по версиям в указаниях нет) («Указания к решению задач олимпиады «Физтех»: Физика 10 класс (2 попытка 2026/27)», стр. 3 ↗).

Продолжить тему: Силы и ускорение →

Тема, знания и приёмы

Силы и ускорение · Нужна школьная база

Система центра масс
Законы сохранения импульса и энергии при упругом ударе
Относительная скорость

Приёмы решения: Закон сохранения импульса · Относительное движение · Закон сохранения энергии

Задать вопрос по задаче →