Физтех 2026/27 · Физика · 10 кл., №3 — решение · Отборочный этап

Условие

Камень брошен под углом к горизонту со скоростью $V_0$ В процессе подъёма через $\tau = 0{,}4$ с после старта $|\vec V(\tau)| = \alpha\cdot V_0$ , здесь $\alpha = 0{,}8$ далее в процессе подъёма $|\vec V(2\tau)| = \beta\cdot V_0$ , здесь $\beta = 0{,}7$ Ускорение свободного падения $g = 10$ м/с². Сопротивление воздуха пренебрежимо мало.

Найдите максимальную высоту полёта камня. Ответ приведите в [м] с округлением до десятых.

О задаче · 10 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Отборочный этап, второй тур (2 попытка, 25.10.2026)
Предмет / класс: Физика · 10 класс
Сезон: 2026/27

Ни $V_0$ ни угол не даны — только два отношения модулей скорости. Запиши квадрат скорости в момент $t$ через составляющие и посмотри, что получается. Ниже можно сверить ответ в метрах.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеПолёт камня

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Полёт камня

Какие составляющие начальной скорости дают заданные отношения скоростей через τ и 2τ?

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Если модель не открылась, попробуй так: выпиши |V|² через V_x и V_y − gt для t = τ и t = 2τ.

Подсказка 1

Горизонтальная составляющая скорости не меняется, вертикальная равна $V_y - gt$ Поэтому $|\vec V(t)|^2 = V_0^2 - 2gV_yt + g^2t^2$ — квадрат скорости зависит от $V_y$ и $V_0$ но не от угла отдельно.

Подсказка 2

Подставь $t = \tau$ и $t = 2\tau$ два уравнения на $V_0^2$ и $V_y$ Умножь первое на $2$ и вычти из второго — $V_y$ исчезнет, и найдётся $V_0^2$ Высота $H = V_y^2/(2g)$

Разобрать решение по шагам

Квадрат скорости в полёте

Пусть $V_x$ и $V_y$ — составляющие начальной скорости, $V_0^2 = V_x^2 + V_y^2$ В момент $t$ скорость равна $(V_x;\ V_y - gt)$ и

|\vec V(t)|^2 = V_x^2 + (V_y - gt)^2 = V_0^2 - 2gV_y\,t + g^2t^2.

Эта формула верна и на подъёме, и на спуске — она просто следует из равноускоренного движения.

Два уравнения — две неизвестные

\alpha^2V_0^2 = V_0^2 - 2g\tau V_y + g^2\tau^2,\qquad \beta^2V_0^2 = V_0^2 - 4g\tau V_y + 4g^2\tau^2.

Удвоим первое и вычтем из второго: $(\beta^2 - 2\alpha^2)V_0^2 = -V_0^2 + 2g^2\tau^2$ , откуда

V_0^2 = \frac{2g^2\tau^2}{1 + \beta^2 - 2\alpha^2} = \frac{2\cdot 100\cdot 0{,}16}{1 + 0{,}49 - 1{,}28} = \frac{32}{0{,}21} \approx 152{,}4\ \text{м}^2/\text{с}^2.

Теперь из первого уравнения

V_y = \dfrac{V_0^2(1 - \alpha^2) + g^2\tau^2}{2g\tau} = \dfrac{152{,}4\cdot 0{,}36 + 16}{8} \approx 8{,}857

м/с.

Максимальная высота

H = \frac{V_y^2}{2g} = \frac{8{,}857^2}{20} \approx 3{,}92\ \text{м} \approx 3{,}9\ \text{м}.

Для проверки: $V_x = \sqrt{V_0^2 - V_y^2} \approx 8{,}60$ м/с, через $\tau$ вертикальная скорость $4{,}857$ м/с и $|\vec V| = 9{,}876 = 0{,}8V_0$ ; через $2\tau$ — $0{,}857$ м/с и $|\vec V| = 8{,}642 = 0{,}7V_0$ . Вершина — при $t = V_y/g = 0{,}886$ с, то есть после $2\tau = 0{,}8$ с, как и сказано в условии («в процессе подъёма»).

Проверка

Независимо: двумерный перебор составляющих $(V_x, V_y)$ по невязкам обоих условий с уточнением (review/calc/p10r2.py) находит единственный бросок с $V_y = 8{,}857$ м/с и $H = 3{,}922$ м. Другие версии той же формулой: ID 6245 ( $\tau = 0{,}5$ с, $\alpha = 0{,}6$ $\beta = 0{,}2$ ) — $7{,}8$ м, причём $V_x = 0$ это вертикальный бросок; ID 6246 ( $0{,}6$ с, $0{,}7$ $0{,}6$ ) — $6{,}1$ м, здесь вершина при $1{,}105$ с раньше $2\tau = 1{,}2$ с — к моменту $2\tau$ камень уже опускается, но формула для $|\vec V|^2$ от этого не меняется и $V_y$ определяется однозначно; ID 6247 ( $0{,}2$ с, $0{,}8$ $0{,}6$ ) — $5{,}0$ м, снова вертикальный бросок.

Ответ

$H = \dfrac{V_y^2}{2g}$ где $V_0^2 = \dfrac{2g^2\tau^2}{1 + \beta^2 - 2\alpha^2}$ , $V_y = \dfrac{V_0^2(1 - \alpha^2) + g^2\tau^2}{2g\tau}$ ; $H \approx 3{,}9$ м.

Ответ

$H = \dfrac{V_y^2}{2g}$ где $V_0^2 = \dfrac{2g^2\tau^2}{1 + \beta^2 - 2\alpha^2}$ , $V_y = \dfrac{V_0^2(1 - \alpha^2) + g^2\tau^2}{2g\tau}$ ; $H \approx 3{,}9$ м.

Главная идея

Квадрат скорости в полёте — квадратный трёхчлен по времени с коэффициентами V₀² и V_y; два измерения дают два уравнения, а высота зависит только от V_y.

Даны модули скорости в два момента полёта без угла — записывай |V|² = V₀² − 2gV_y t + g²t².

Где легко ошибиться

Пытаться найти угол отдельно (он не нужен); брать |V(t)| = V₀ − gt как для вертикального броска во всех версиях; ошибаться в знаке при вычитании уравнений.

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · физика · 10 класс · 2026/27 · отборочный этап, второй тур (2 попытка, 25.10.2026). Задача 3, версия с ID 6244 — первая в официальном файле; другие версии этого номера (ID 6245, 6246, 6247) можно выбрать в модели.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 3) ↗ · Указания к решению от организатора ↗ · Архив заданий олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение записано до знакомства с указаниями организатора; затем ответы совпадают с результатом подстановки данных в формулу из указаний организатора (числовых ответов по версиям в указаниях нет); уточнение ниже («Указания к решению задач олимпиады «Физтех»: Физика 10 класс (2 попытка 2026/27)», стр. 1 ↗). В версии 6246 момент 2τ после вершины, в 6245 и 6247 бросок вертикальный — формула указаний применима без изменений.

Продолжить тему: Кинематика →

Тема, знания и приёмы

Кинематика · Начальный вход

Движение под углом к горизонту по составляющим
Квадрат модуля вектора через составляющие
Решение системы двух линейных уравнений

Приёмы решения: Координаты и проекции · Удачная подстановка или замена

Задать вопрос по задаче →