Физтех 2026/27 · Физика · 10 кл., №5 — решение · Отборочный этап

Условие

Шарик перед абсолютно упругим соударением с клином движется со скоростью $V_0 = 1{,}0$ м/с, $\vec V_0 \uparrow\uparrow \vec g$ . Отношение массы клина к массе шарика $\dfrac{M}{m} = 2{,}0$ Все поверхности гладкие.

Найдите наибольшую возможную скорость клина сразу после соударения. Ответ приведите в [м/с] с округлением до десятых.

О задаче · 10 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Отборочный этап, второй тур (2 попытка, 25.10.2026)
Предмет / класс: Физика · 10 класс
Сезон: 2026/27

Угол клина не задан — его и надо выбрать так, чтобы клин поехал быстрее всего. Подумай, вдоль какой линии передаётся импульс при ударе о гладкую грань. Ниже можно сверить ответ в м/с.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеШарик и клин

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Шарик и клин

При каком угле грани клин после удара едет быстрее всего?

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Если модель не открылась, попробуй так: нарисуй нормаль к грани и разложи импульс удара на горизонтальную и вертикальную части.

Подсказка 1

Грань гладкая, удар мгновенный: шарик получает импульс только по нормали к грани, клин — такой же по модулю импульс в обратную сторону, но двигаться он может только по горизонтали (пол гладкий, тяжесть за время удара не успевает).

Подсказка 2

Обозначь угол грани к горизонту $\varphi$ и импульс $J$ Клин: $Mu = J\sin\varphi$ Шарик: $\vec v = \vec V_0 + (J/m)\vec n$ . Упругость — относительная скорость вдоль нормали после удара равна по модулю и противоположна относительной скорости до удара. Найди $u(\varphi)$ и его максимум.

Разобрать решение по шагам

Куда направлен импульс удара

Выберем оси $x$ вправо и $y$ вверх, как на рисунке. Пусть грань клина наклонена к горизонту под углом $\varphi$ её нормаль $\vec n = (-\sin\varphi;\ \cos\varphi)$ (направлена от грани к шарику). Поверхности гладкие, поэтому за короткое время удара шарик и клин обмениваются импульсом $J$ только вдоль $\vec n$ Клин стоит на гладком полу: по вертикали его держит пол, по горизонтали он свободен и получает скорость

u = \frac{J\sin\varphi}{M}.

Шарик после удара: $\vec v = (0;\ -V_0) + \dfrac{J}{m}(-\sin\varphi;\ \cos\varphi)$ .

Условие упругости

При упругом ударе относительная скорость вдоль нормали меняет знак. До удара проекция относительной скорости шарика (клин покоится) на $\vec n$ равна $-V_0\cos\varphi$ после удара клин движется со скоростью $(u;\ 0)$ (от шарика, вправо), и проекция относительной скорости на $\vec n$ равна $\dfrac{J}{m} - V_0\cos\varphi + u\sin\varphi$ . Приравниваем её к $+V_0\cos\varphi$

\frac{J}{m}\left(1 + \frac{m}{M}\sin^2\varphi\right) = 2V_0\cos\varphi\quad\Rightarrow\quad u = \frac{J\sin\varphi}{M} = \frac{V_0\sin 2\varphi}{\mu + \sin^2\varphi},\qquad \mu = \frac{M}{m}.

(Тот же результат даёт закон сохранения энергии вместе с сохранением горизонтального импульса системы.)

Наибольшая скорость клина

Обозначим $s = \sin^2\varphi$ тогда $u^2 = \dfrac{4V_0^2 s(1 - s)}{(\mu + s)^2}$ . Производная по $s$ обращается в нуль при $(1 - 2s)(\mu + s) = 2s(1 - s)$ , то есть $s = \dfrac{\mu}{1 + 2\mu} = 0{,}4$ , $\varphi \approx 39^\circ$ Подстановка даёт

u_{\max} = \frac{V_0}{\sqrt{\mu(1 + \mu)}} = \frac{1}{\sqrt{6}} \approx 0{,}41\ \text{м/с} \approx 0{,}4\ \text{м/с}.

При очень пологой грани импульс почти вертикален и клин почти не едет; при очень крутой — шарик скользит вдоль грани и почти не бьёт. Лучший угол посередине.

Проверка

Проверка энергии при $\varphi = 39{,}2^\circ$ $J/m = 2\cos\varphi/(1 + \sin^2\varphi/2) = 1{,}291$ , $u = 0{,}408$ м/с, скорость шарика $(-0{,}816;\ 0)$ — $Mu^2 + m|\vec v|^2 = m(2\cdot 0{,}1667 + 0{,}6667) = mV_0^2$ — сходится; шарик после удара летит горизонтально. Независимо: численное решение упругого удара для сетки углов с максимизацией скорости клина (review/calc/p10r2.py) даёт $0{,}4082$ м/с при $39{,}2^\circ$ Другие версии по $V_0/\sqrt{\mu(1 + \mu)}$ ID 6253 ( $0{,}5$ м/с, $\mu = 1{,}2$ ) — $0{,}3$ м/с; ID 6254 ( $2$ м/с, $2{,}9$ ) — $0{,}6$ м/с; ID 6255 ( $3$ м/с, $3{,}8$ ) — $0{,}7$ м/с.

Ответ

$u_{\max} = \dfrac{V_0}{\sqrt{\mu(1 + \mu)}}$ , $\mu = M/m$ $u_{\max} \approx 0{,}4$ м/с.

Ответ

$u_{\max} = \dfrac{V_0}{\sqrt{\mu(1 + \mu)}}$ , $\mu = M/m$ $u_{\max} \approx 0{,}4$ м/с.

Главная идея

Импульс удара о гладкую грань направлен по нормали; клин получает только его горизонтальную часть, а упругость задаёт величину импульса; скорость клина как функция угла грани имеет максимум.

Удар о гладкую наклонную поверхность свободного тела — импульс вдоль нормали, горизонтальный импульс и энергия сохраняются, угол выбирается по максимуму.

Где легко ошибиться

Считать, что весь импульс шарика передаётся клину; использовать формулу лобового удара; забывать, что клин движется только горизонтально; брать φ = 45° без проверки.

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · физика · 10 класс · 2026/27 · отборочный этап, второй тур (2 попытка, 25.10.2026). Задача 5, версия с ID 6252 — первая в официальном файле; другие версии этого номера (ID 6253, 6254, 6255) можно выбрать в модели.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 7) ↗ · Указания к решению от организатора ↗ · Архив заданий олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение записано до знакомства с указаниями организатора; затем ответы всех четырёх версий совпадают с результатом подстановки данных в формулу из указаний организатора (числовых ответов по версиям в указаниях нет) («Указания к решению задач олимпиады «Физтех»: Физика 10 класс (2 попытка 2026/27)», стр. 2 ↗).

Продолжить тему: Силы и ускорение →

Тема, знания и приёмы

Силы и ускорение · Начальный вход

Импульс силы и мгновенный удар
Упругий удар: относительная скорость вдоль нормали меняет знак
Исследование функции на максимум

Приёмы решения: Закон сохранения импульса · Закон сохранения энергии

Задать вопрос по задаче →