Физтех 2026/27 · Физика · 10 кл., №2 — решение · Отборочный этап

Условие

Однородное колесо катится без проскальзывания по горизонтальной плоскости, ускорение центра колеса равно $a = k\cdot g$ здесь $k = 0{,}4$ $g$ — ускорение свободного падения. Модуль ускорения нижней точки колеса равен модулю ускорения центра колеса. В верхней точке колеса сидит пчёлка. Все точки колеса движутся в одной и той же вертикальной плоскости.

Найдите отношение модуля силы, с которой пчёлка действует на колесо, к силе тяжести пчёлки. Ответ приведите с округлением до десятых.

О задаче · 10 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Отборочный этап, второй тур (2 попытка, 25.10.2026)
Предмет / класс: Физика · 10 класс
Сезон: 2026/27

Пчёлка движется вместе с верхней точкой колеса, значит её ускорение — ускорение этой точки. Собери его из движения центра и вращения вокруг центра. Ниже можно сверить ответ.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеКатящееся колесо

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Катящееся колесо

Как складывается ускорение точки обода и какую силу колесо даёт пчёлке наверху?

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Если модель не открылась, попробуй так: нарисуй для верхней и нижней точки три стрелки — a, εR и ω²R.

Подсказка 1

Ускорение любой точки обода = ускорение центра $a$ + касательное $\varepsilon R$ (при качении без проскальзывания $\varepsilon R = a$ ) + центростремительное $\omega^2R$ к центру. У нижней точки первые два слагаемых противоположны и гасятся — что остаётся?

Подсказка 2

Условие про нижнюю точку даёт $\omega^2R = a = kg$ У верхней точки $a$ и $\varepsilon R$ складываются ( $2a$ по горизонтали), а $\omega^2R$ направлено вниз. Запиши второй закон Ньютона для пчёлки: $\vec N + m\vec g = m\vec a_{\text{верх}}$ .

Разобрать решение по шагам

Ускорение точек обода

Качение без проскальзывания — это движение центра со скоростью $v$ и ускорением $a$ плюс вращение вокруг центра с $\omega = v/R$ и $\varepsilon = a/R$ Ускорение точки обода складывается из трёх частей:

\vec a_{\text{точки}} = \vec a + \vec a_\tau + \vec a_n,\qquad |\vec a_\tau| = \varepsilon R = a,\quad |\vec a_n| = \omega^2R\ (\text{к центру}).

У нижней точки $\vec a_\tau$ направлено назад (колесо раскручивается так, что низ идёт против движения) и гасит $\vec a$ остаётся только $\omega^2R$ вверх. По условию его модуль равен $a$ $\omega^2R = kg$

Верхняя точка

У верхней точки $\vec a$ и $\vec a_\tau$ направлены одинаково — вперёд: вместе $2a = 2kg$ Центростремительное $\omega^2R = kg$ направлено вниз, к центру. Итак,

\vec a_{\text{верх}} = (2kg;\ -kg).

Пчёлка сидит на этой точке и движется вместе с ней, значит её ускорение такое же.

Сила со стороны колеса

На пчёлку действуют сила тяжести $m\vec g$ и сила колеса $\vec N$ (нормальная реакция и сцепление лапок вместе): $\vec N + m\vec g = m\vec a_{\text{верх}}$ , откуда

\vec N = m(2kg;\ g - kg),\qquad \frac{N}{mg} = \sqrt{(2k)^2 + (1 - k)^2} = \sqrt{0{,}64 + 0{,}36} = 1{,}0.

По третьему закону Ньютона пчёлка действует на колесо с такой же по модулю силой — ответ $1{,}0$ Горизонтальная часть $0{,}8mg$ — это сила сцепления, которой колесо «тащит» пчёлку вперёд, вертикальная $0{,}6mg$ — уменьшенная реакция (пчёлку прижимает к колесу слабее, чем вес).

Проверка

Проверка: при $k = 0{,}4$ составляющие $0{,}8mg$ и $0{,}6mg$ — египетский треугольник, модуль ровно $mg$ Независимо: траектория верхней точки катящегося колеса построена по координатам и продифференцирована численно (review/calc/p10r2.py) — её ускорение $(2kg;\ -kg)$ и то же $N/mg$ Другие версии по $\sqrt{4k^2 + (1 - k)^2}$ ID 6241 ( $k = 0{,}56$ ) — $1{,}2$ ID 6242 ( $k = 0{,}74$ ) — $1{,}5$ ID 6243 ( $k = 1$ ) — $2{,}0$ (при $k = 1$ вертикальная составляющая исчезает: пчёлку держит только сцепление).

Ответ

$\dfrac{N}{mg} = \sqrt{(2k)^2 + (1 - k)^2} = 1{,}0$ .

Ответ

$\dfrac{N}{mg} = \sqrt{(2k)^2 + (1 - k)^2} = 1{,}0$ .

Главная идея

Ускорение точки обода — сумма ускорения центра, касательного εR = a и центростремительного ω²R; условие про нижнюю точку задаёт ω²R, а у верхней точки первые два складываются.

Тело сидит на ободе катящегося колеса — считай ускорение точки обода как сумму трёх векторов и применяй второй закон Ньютона к телу.

Где легко ошибиться

Забывать касательное ускорение εR у верхней точки (брать 1·a вместо 2a); считать, что ω²R не зависит от условия про нижнюю точку; брать N только вертикальной.

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · физика · 10 класс · 2026/27 · отборочный этап, второй тур (2 попытка, 25.10.2026). Задача 2, версия с ID 6240 — первая в официальном файле; другие версии этого номера (ID 6241, 6242, 6243) можно выбрать в модели.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 2) ↗ · Указания к решению от организатора ↗ · Архив заданий олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение записано до знакомства с указаниями организатора; затем ответы всех четырёх версий совпадают с результатом подстановки данных в формулу из указаний организатора (числовых ответов по версиям в указаниях нет) («Указания к решению задач олимпиады «Физтех»: Физика 10 класс (2 попытка 2026/27)», стр. 1 ↗).

Продолжить тему: Кинематика →

Тема, знания и приёмы

Кинематика · Нужна школьная база

Сложение ускорений при качении
Центростремительное и касательное ускорение
Второй и третий законы Ньютона в векторной форме

Приёмы решения: Поворот плоскости · Уравнение сил

Задать вопрос по задаче →