Физтех 2026/27 · Физика · 10 кл., №4 — решение · Отборочный этап

Условие

Электрическая цепь (см. схему на рис.) состоит из 12 одинаковых резисторов. При подключении источника постоянного напряжения к клеммам $AB$ в цепи рассеивается мощность $P_1 = 17$ Вт.

Какая мощность будет рассеиваться в этой цепи при подключении того же источника напряжения к клеммам $AC$ В ответе укажите целое число [Вт].

Рисунок к условию

О задаче · 10 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Отборочный этап, второй тур (2 попытка, 25.10.2026)
Предмет / класс: Физика · 10 класс
Сезон: 2026/27

Источник тот же, значит напряжение одно и то же, а мощность зависит только от сопротивления между клеммами. Нужны $R_{AB}$ и $R_{AC}$ в долях $R$ Ниже можно сверить ответ в ваттах.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеСетка резисторов

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Сетка резисторов

Как текут токи в сетке и чему равно её сопротивление между разными клеммами?

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Если модель не открылась, попробуй так: отметь на схеме узлы с равными потенциалами при подключении к AB и сверни схему.

Подсказка 1

$P = U^2/R_{\text{экв}}$ поэтому $P_{AC}/P_{AB} = R_{AB}/R_{AC}$ . Для $R_{AB}$ воспользуйся симметрией сетки относительно диагонали $AB$ узлы, зеркальные друг другу, равнопотенциальны.

Подсказка 2

Для $R_{AC}$ простой симметрии нет: занумеруй узлы, задай потенциалы $A$ и $C$ и запиши для остальных узлов первое правило Кирхгофа (сумма токов в узле равна нулю). Получится система линейных уравнений — решай её или считай подбором.

Разобрать решение по шагам

Мощность и сопротивление

Напряжение источника $U$ одно и то же, поэтому $P = \dfrac{U^2}{R_{\text{экв}}}$ и

P_{AC} = P_{AB}\cdot\frac{R_{AB}}{R_{AC}}.

Остаётся найти два сопротивления сетки. Пусть каждый резистор — $R$

Между противоположными углами A и B

Подадим между $A$ и $B$ единичное напряжение: потенциалы $A=1$ $B=0$ Поворот сетки на $180^\circ$ меняет потенциал $v$ на $1-v$ поэтому центр и два других угла имеют потенциал $1/2$ Симметричные относительно диагонали узлы равнопотенциальны.

Обозначим потенциал середины верхней стороны через $x$ такой же он у $C$ (середина левой стороны). Из этого узла ток идёт к $A$ центру и правому верхнему углу. Первое правило Кирхгофа даёт

\frac{x-1}{R}+\frac{x-1/2}{R}+\frac{x-1/2}{R}=0,\qquad 3x=2,\qquad x=\frac23.

Из $A$ выходят две одинаковые ветви, и полный ток $I_{AB}=2(1-2/3)/R=2/(3R)$ Значит, $R_{AB}=1/I_{AB}=3R/2$

Между A и C и ответ

Теперь $A=1$ $C=0$ Назовём потенциалы узлов по рядам: верхний ряд $(A,x,u)$ средний $(C,y,z)$ нижний $(b,c,d)$ $d$ — узел $B$ Для каждого свободного узла сумма токов равна нулю:

\begin{aligned} 3x&=1+u+y,&2u&=x+z,\\[0.45em] 4y&=x+z+c,&3z&=u+y+d,\\[0.45em] 2b&=c,&3c&=b+y+d,&2d&=z+c. \end{aligned}

Сначала исключим угловые узлы: $u=(x+z)/2$ $b=c/2$ $d=(z+c)/2$ Оставшиеся равенства упрощаются:

\begin{aligned} 5x-z-2y&=2, &4z&=x+2y+c,\\[0.45em] 4c&=2y+z, &4y&=x+z+c. \end{aligned}

Из $c=(2y+z)/4$ получаем $15z=4x+10y$ и $14y=4x+5z$ Подставляя первое во второе: $42y=16x+10y$ поэтому $y=x/2$ затем $z=3x/5$ $c=2x/5$ Первое уравнение даёт $5x-3x/5-x=2$ то есть $x=10/17$ Остальные потенциалы: $u=8/17$ $y=5/17$ $z=6/17$ $b=2/17$ $c=4/17$ $d=5/17$

Из $A$ ток идёт к $C=0$ и к $x=10/17$

I_{AC}=\frac{1-0}{R}+\frac{1-10/17}{R}=\frac{24}{17R},\qquad R_{AC}=\frac{17}{24}R.

Поэтому $P_{AC}=17\cdot\dfrac{3/2}{17/24}=36$ Вт.

Проверка

Проверка: отношение $R_{AB}/R_{AC} = 36/17$ — не зависит от $R$ и от $U$ Независимо: узловой анализ сетки методом Гаусса (review/calc/p10r2.py) даёт $R_{AB} = 1{,}5R$ $R_{AC} = 0{,}70833R = 17R/24$ ; те же значения считает модель на странице. Другие версии по $P_2 = 36P_1/17$ ID 6249 ( $P_1 = 8{,}5$ Вт) — $18$ Вт; ID 6250 ( $25{,}5$ Вт) — $54$ Вт; ID 6251 ( $34$ Вт) — $72$ Вт. Во всех версиях ответ целый.

Ответ

$P_{AC} = P_{AB}\cdot\dfrac{R_{AB}}{R_{AC}} = \dfrac{36}{17}P_1 = 36$ Вт.

Ответ

$P_{AC} = P_{AB}\cdot\dfrac{R_{AB}}{R_{AC}} = \dfrac{36}{17}P_1 = 36$ Вт.

Главная идея

При одном источнике мощность обратно пропорциональна сопротивлению; R_AB берётся по симметрии, R_AC — узловыми уравнениями.

Один источник, разные клеммы одной сетки — ищи отношение эквивалентных сопротивлений, симметрию для «красивых» пар и узловые уравнения для остальных.

Где легко ошибиться

Считать мощность пропорциональной сопротивлению (при фиксированном напряжении — наоборот); объявлять равнопотенциальными узлы, не симметричные относительно клемм; терять резисторы при сворачивании сетки.

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · физика · 10 класс · 2026/27 · отборочный этап, второй тур (2 попытка, 25.10.2026). Задача 4, версия с ID 6248 — первая в официальном файле; другие версии этого номера (ID 6249, 6250, 6251) можно выбрать в модели.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 5) ↗ · Указания к решению от организатора ↗ · Архив заданий олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора, рисунок перерисован по нему. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение записано до знакомства с указаниями организатора; затем ответы всех четырёх версий совпадают с результатом подстановки данных в формулу из указаний организатора (числовых ответов по версиям в указаниях нет) («Указания к решению задач олимпиады «Физтех»: Физика 10 класс (2 попытка 2026/27)», стр. 2 ↗).

Продолжить тему: Электрические цепи →

Тема, знания и приёмы

Электрические цепи · Начальный вход

Мощность P = U²/R
Эквивалентное сопротивление и симметрия схем
Правила Кирхгофа для узлов

Приёмы решения: Узлы и эквивалентная цепь · Симметрия и попарное соответствие

Задать вопрос по задаче →