Задача 9. Композиция многочленов

Степень B

Сначала поймём, какой многочлен $B$ вообще может подойти. Если $\deg B = m$, то $A(B(x))$ — многочлен степени $3m$ (старший член $B^3$). Справа степень $\deg A + \deg C = 3 + 3 = 6$. Значит, $3m = 6$ и $m = 2$: $B$ — квадратный трёхчлен (его старший коэффициент не равен $0$).

Значения B в корнях A

Подставим корни $A$: при $x = 1$ правая часть равна $A(1)C(1) = 0$, поэтому $A(B(1)) = 0$. Но $A$ обращается в ноль только в точках $1, 2, 3$, значит, $B(1) \in \{1, 2, 3\}$. Так же при $x = 2$ и $x = 3$. Итак, все три значения $B(1)$, $B(2)$, $B(3)$ лежат в множестве $\{1, 2, 3\}$.

Обратно: любые такие значения подходят

Пусть $B$ — квадратный трёхчлен и $B(1), B(2), B(3) \in \{1, 2, 3\}$. Тогда многочлен $A(B(x))$ равен нулю в точках $1, 2, 3$, то есть делится на $x - 1$, $x - 2$, $x - 3$, а значит, и на их произведение $A(x)$. Частное $C(x)$ — многочлен степени $6 - 3 = 3$, как и требуется.

Сколько таких трёхчленов? Возьмём любые значения $y_1, y_2, y_3$ и напишем многочлен степени не выше $2$ прямо по ним:

где $c = \dfrac{y_3 - 2y_2 + y_1}{2}$.

Подстановка проверяет, что он принимает нужные значения: $B(1) = y_1$; $B(2) = y_1 + (y_2 - y_1) = y_2$; $B(3) = y_1 + 2(y_2 - y_1) + (y_3 - 2y_2 + y_1) = y_3$. Значит, нужный многочлен существует при любом наборе. Другого нет: два таких многочлена отличались бы на многочлен степени не выше $2$ с тремя корнями $1, 2, 3$, то есть на ноль. Поэтому каждому из $3^3 = 27$ наборов значений $(B(1), B(2), B(3))$ соответствует ровно один многочлен степени не выше $2$, и он задаётся этой формулой.

Исключаем степени 0 и 1

Многочлен из шага 3 может оказаться степени меньше $2$ — тогда он не подходит (по шагу 1). В формуле шага 3 коэффициент при $x^2$ равен $c = \dfrac{y_3 - 2y_2 + y_1}{2}$, поэтому степень меньше $2$ ровно тогда, когда $y_1 + y_3 = 2y_2$: значения образуют арифметическую прогрессию, а три точки $(1; y_1)$, $(2; y_2)$, $(3; y_3)$ лежат на одной прямой (рисунок). Таких наборов пять:

Остальные дают квадратный трёхчлен, поэтому ответ $27 - 5 = 22$.