Задача 4. Высоты, медиана и расстояния

E и F на окружности с диаметром BC

$\angle BEC = \angle BFC = 90^\circ$ (это основания высот), поэтому $E$ и $F$ лежат на окружности с диаметром $BC$. Её центр — середина $M$, радиус $\frac{BC}{2} = 2\sqrt{3}$:

Треугольник MEF равносторонний

В треугольнике $ABE$ угол $E$ прямой, поэтому $\angle EBF = \angle EBA = 90^\circ - \angle A = 30^\circ$. Это вписанный угол окружности с диаметром $BC$, опирающийся на дугу $EF$; центральный угол на ту же дугу вдвое больше:

Равнобедренный треугольник ($ME = MF$) с углом $60^\circ$ между боковыми сторонами — равносторонний: $EF = 2\sqrt{3}$. Его высота

H лежит внутри треугольника MEF

$\angle AEH = \angle AFH = 90^\circ$, поэтому $A, F, H, E$ лежат на окружности с диаметром $AH$. Покажем, что $ME$ её касается. Треугольник $MBE$ равнобедренный ($MB = ME$), поэтому $\angle MEH = \angle MEB = \angle MBE = 90^\circ - \angle C$. А вписанный угол $\angle EAH$ этой окружности тоже равен $90^\circ - \angle C$: прямая $AH$ — третья высота, она перпендикулярна $BC$, и в прямоугольном треугольнике, который она отсекает вместе с $AC$ и $BC$, острый угол при $A$ равен $90^\circ - \angle C$. Угол между прямой $ME$ и хордой $EH$ равен вписанному углу, опирающемуся на эту хорду, — значит, $ME$ касательная. Так же $MF$ касается окружности.

Окружность с диаметром $AH$ лежит внутри угла $EMF$ и касается его сторон в точках $E$ и $F$; точки $A$ и $H$ лежат на ней по разные стороны от хорды $EF$, причём $H$ — на дуге, обращённой к $M$. Поэтому $H$ лежит внутри треугольника $MEF$.

Сумма трёх расстояний и ответ

Пусть $d_1, d_2, d_3$ — расстояния от $H$ до прямых $ME$, $MF$, $EF$. Точка $H$ внутри треугольника, поэтому он разрезается на три треугольника с вершиной $H$, и сумма их площадей равна площади $MEF$:

откуда

По условию $d_1 + d_2 = 2{,}5$, значит