Физтех 2026/27 · Математика · 11 кл., №6 — решение · Отборочный этап

Условие

Последовательность задана условиями $a_1=2$ и $a_{n+1}=\dfrac{a_n}{1+3a_n}$ при всех $n\ge1$ Представьте $a_{101}$ в виде несократимой дроби (с натуральными числителем и знаменателем). В ответе напишите сумму числителя и знаменателя этой дроби.

О задаче · 11 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Отборочный этап, второй тур (2 попытка, 01.11.2026)
Предмет / класс: Математика · 11 класс
Сезон: 2026/27

Посчитай руками $a_2$ $a_3$ $a_4$ и запиши их несократимыми дробями. Что меняется от члена к члену, а что остаётся на месте? В модели можно двигать конвейер дальше. Ниже можно сверить ответ.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеКонвейер дробей

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Конвейер дробей

Как меняются числители и знаменатели членов последовательности?

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Если модель не открылась, попробуй так. Посчитай на листке a₂, a₃, a₄, a₅ несократимыми дробями и выпиши подряд их знаменатели. Затем выпиши числа 1/a₁, 1/a₂, … и найди их разности.

Подсказка 1

Посчитай $a_2 = \dfrac{2}{7}$ $a_3 = \dfrac{2}{13}$ $a_4 = \dfrac{2}{19}$ Числитель всё время $2$ а знаменатели растут на одно и то же число. Посмотри на обратные величины $\dfrac{1}{a_n}$

Подсказка 2

Переверни равенство из условия: $\dfrac{1}{a_{n+1}} = \dfrac{1 + 3a_n}{a_n} = \dfrac{1}{a_n} + 3$ . Значит, числа $\dfrac{1}{a_n}$ образуют арифметическую прогрессию с разностью $3$ Найди её член с номером $101$

Разобрать решение по шагам

Первые члены

Начнём с того, что посчитаем несколько членов: так проще всего увидеть, как устроена последовательность. Для $a_1 = 2$ сначала знаменатель формулы: $1 + 3a_1 = 7$ поэтому

a_2 = \frac{2}{7}.

Дальше $1 + 3a_2 = 1 + \dfrac{6}{7} = \dfrac{13}{7}$ и $a_3 = \dfrac{2}{7} : \dfrac{13}{7} = \dfrac{2}{13}$ . Так же $1 + 3a_3 = \dfrac{19}{13}$ и $a_4 = \dfrac{2}{19}$

Числитель не меняется, а знаменатели $1, 7, 13, 19$ растут каждый раз на $6$ Сравним две строки — знаменатели и перевёрнутые дроби:

$n$	$1$	$2$	$3$	$4$	шаг
$a_n$	$\dfrac{2}{1}$	$\dfrac{2}{7}$	$\dfrac{2}{13}$	$\dfrac{2}{19}$
знам.	$1$	$7$	$13$	$19$	$+6$
$\dfrac{1}{a_n}$	$\dfrac{1}{2}$	$\dfrac{7}{2}$	$\dfrac{13}{2}$	$\dfrac{19}{2}$	$+3$

Это одни и те же числа: $\dfrac{1}{a_n} = \dfrac{\text{знаменатель}}{2}$ . Общий числитель $2$ делит шаг пополам: знаменатель растёт на $6$ а перевёрнутая дробь — на $\dfrac{6}{2} = 3$ Поэтому две разные разности не противоречат друг другу. Это наблюдение нужно доказать для всех $n$ а не только для первых четырёх.

Обратные величины

Знаменатели удобнее всего изучать, если перевернуть дроби: у $\dfrac{1}{a_n}$ знаменатель становится числителем. Перевернём обе части равенства $a_{n+1} = \dfrac{a_n}{1 + 3a_n}$ (все члены положительны, так что делить можно):

\frac{1}{a_{n+1}} = \frac{1 + 3a_n}{a_n} = \frac{1}{a_n} + 3.

Каждая следующая обратная величина на $3$ больше предыдущей: числа $\dfrac{1}{a_1}, \dfrac{1}{a_2}, \dfrac{1}{a_3}, \ldots$ — арифметическая прогрессия с первым членом $\dfrac{1}{a_1} = \dfrac{1}{2}$ и разностью $3$

Формула общего члена

По формуле $n$ -го члена арифметической прогрессии (к первому члену прибавляем разность $n - 1$ раз):

\frac{1}{a_n} = \frac{1}{2} + 3(n - 1) = \frac{1 + 6(n - 1)}{2} = \frac{6n - 5}{2},

откуда

a_n = \frac{2}{6n - 5}.

Проверка на первых членах: $n = 2, 3, 4$ дают $\dfrac{2}{7}, \dfrac{2}{13}, \dfrac{2}{19}$ — как в шаге 1.

Несократимость и ответ

При $n = 101$ знаменатель $6 \cdot 101 - 5 = 601$

a_{101} = \frac{2}{601}.

Дробь несократима: $601$ нечётно, а у числителя $2$ других делителей, кроме $1$ и $2$ нет. Сумма числителя и знаменателя $2 + 601 = 603$

Проверка

Проверка: при $n = 1$ формула $a_n = \dfrac{2}{6n - 5}$ даёт $a_1 = 2$ и она переходит в себя при шаге:

\begin{aligned} &\frac{2}{6n - 5} : \left(1 + \frac{6}{6n - 5}\right) \\[0.45em] &= \frac{2}{6n + 1} = \frac{2}{6(n + 1) - 5}. \end{aligned}

Тест модели считает последовательность по рекуррентной формуле точными дробями до нужного номера и сокращает каждую дробь — получается $\dfrac{2}{601}$ В общем виде $a_n = \dfrac{a_1}{1 + c\,a_1(n - 1)}$ , и дробь несократима, потому что общий делитель $a_1$ и $1 + c\,a_1(n - 1)$ делит $1$ Другие официальные версии: ID 6418 ( $a_1 = 1$ $c = 2$ $a_{120}$ ): $\dfrac{1}{a_{120}} = 1 + 2 \cdot 119 = 239$ , ответ $1 + 239 = 240$ ID 6419 ( $a_1 = 3$ $c = 1$ $a_{121}$ ): $\dfrac{1}{a_{121}} = \dfrac{1}{3} + 120 = \dfrac{361}{3}$ , $a_{121} = \dfrac{3}{361}$ ответ $364$ ID 6420 ( $a_1 = 5$ $c = 2$ $a_{100}$ ): $\dfrac{1}{a_{100}} = \dfrac{1}{5} + 198 = \dfrac{991}{5}$ , $a_{100} = \dfrac{5}{991}$ ответ $996$

Ответ

$603$ (здесь $a_{101} = \dfrac{2}{601}$ ).

Ответ

$603$ (здесь $a_{101} = \dfrac{2}{601}$ ).

Главная идея

Обратные величины $\dfrac{1}{a_n}$ образуют арифметическую прогрессию с разностью $3$ поэтому $a_n = \dfrac{2}{6n - 5}$

Рекуррентность вида $a_{n+1} = \dfrac{a_n}{1 + c\,a_n}$ : после переворота дробей получается $\dfrac{1}{a_{n+1}} = \dfrac{1}{a_n} + c$ .

Где легко ошибиться

Принять «по наблюдению» без доказательства, что знаменатель растёт на $6$ (а перевёрнутая дробь — на $3$ ); перепутать эти две разности; ошибиться на единицу в номере ( $3n$ вместо $3(n - 1)$ ); забыть проверить несократимость.

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · математика · 11 класс · 2026/27 · отборочный этап, второй тур (2 попытка, 01.11.2026). Задача 6, версия с ID 6417 — первая в официальном файле; другие версии этого номера (ID 6418, 6419, 6420) можно выбрать в модели.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 5) ↗ · Указания к решению от организатора ↗ · Архив заданий олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение записано до сверки с указаниями организатора; затем ответ совпадает с ответом организатора («Указания к решению: математика, 11 класс, 2 попытка 2026/27», стр. 4 ↗: ID 6417: 603; ID 6418: 240; ID 6419: 364; ID 6420: 996.). Сверены все четыре официальные версии этого номера. Таблица официальных ответов была прочитана при разборе входных данных до собственного решения; указания к решению не открывались.

Продолжить тему: Последовательности и суммы →

Тема, знания и приёмы

Последовательности и суммы · Нужна школьная база

Действия с обыкновенными дробями
Арифметическая прогрессия, формула n-го члена

Приёмы решения: Переход от шага к следующему · Удачная подстановка или замена

Задать вопрос по задаче →