Физтех 2026/27 · Математика · 11 кл., №10 — решение · Отборочный этап

Условие

В остроугольном треугольнике $ABC$ проведена высота $BR$ и медиана $AY$ На отрезке $AY$ выбрана точка $X$ так, что $\angle XBY=\angle YAB$ Найдите $\angle XRA$ если $\angle ABC=38^\circ$ и $\angle ABX=13^\circ$ Ответ дайте в градусах.

О задаче · 11 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Отборочный этап, второй тур (2 попытка, 01.11.2026)
Предмет / класс: Математика · 11 класс
Сезон: 2026/27

Сделай аккуратный рисунок и отметь все известные углы: на какие части отрезок $BX$ делит угол $ABC$ Какой угол при вершине $A$ из-за этого известен? В модели меняй форму треугольника и измеряй углы. Ниже можно сверить ответ.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеВысота, медиана и точка X

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Высота, медиана и точка X

При какой форме треугольника ∠ABX = 13° — и каким тогда получается угол XRA?

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Если модель не открылась, попробуй так. Начерти транспортиром треугольник с углом B = 38° и углом A около 67°, отметь середину Y стороны BC, проведи медиану AY и высоту BR. Построй на AY точку X так, чтобы ∠XBY = ∠YAB, и измерь угол XRA.

Подсказка 1

Треугольники $YBX$ и $YAB$ имеют общий угол при $Y$ и равные углы $\angle YBX = \angle YAB$ Что отсюда следует для отрезков $YB$ $YX$ $YA$ Вспомни, что $YB = YC$

Подсказка 2

Из подобия $YB^2 = YX \cdot YA$ поэтому $AX \cdot AY = AY^2 - \dfrac{BC^2}{4} = AB \cdot AC \cos A = AR \cdot AC$ . Тогда треугольники $ARX$ и $AYC$ подобны (точки $X$ $R$ $C$ $Y$ лежат на одной окружности), и $\angle XRA = \angle AYC = \angle ABC + \angle BAY$ .

Разобрать решение по шагам

Подобие и равенство YB² = YX·YA

Условие $\angle XBY = \angle YAB$ связывает два треугольника с общей вершиной $Y$ $YBX$ и $YAB$ Точка $X$ лежит на отрезке $AY$ поэтому угол при $Y$ у них один и тот же: $\angle BYX = \angle AYB$ Ещё одна пара углов равна по условию: $\angle YBX = \angle YAB$ Значит, треугольники подобны: $\triangle YBX \sim \triangle YAB$ (вершина $B$ первого соответствует вершине $A$ второго, $X$ — вершине $B$ ). Из подобия

\frac{YB}{YA} = \frac{YX}{YB} \quad\Rightarrow\quad YB^2 = YX \cdot YA.

(Другими словами, прямая $BC$ касается окружности, проходящей через $A$ $B$ $X$ в точке $B$ — это голубая окружность на рисунке.)

Заодно найдём угол при $A$ который понадобится в конце. Точка $X$ лежит внутри угла $ABC$ поэтому $\angle XBY = \angle ABC - \angle ABX = 38^\circ - 13^\circ = 25^\circ$ , и по условию

\angle BAY = \angle XBY = 25^\circ.

Произведение AX·AY

Мы хотим связать точку $X$ с высотой $BR$ а высота связана с $\cos A$ Поэтому выразим через стороны произведение $AX \cdot AY$ Так как $AX = AY - YX$ и $Y$ — середина $BC$ ( $YB = \dfrac{BC}{2}$ ),

\begin{aligned} &AX \cdot AY \\[0.45em] &= AY^2 - YX \cdot YA \\[0.45em] &= AY^2 - YB^2 \\[0.45em] &= AY^2 - \frac{BC^2}{4}. \end{aligned}

Длину медианы даёт формула $AY^2 = \dfrac{2AB^2 + 2AC^2 - BC^2}{4}$ (она получается, если сложить теоремы косинусов для треугольников $ABY$ и $ACY$ косинусы углов при $Y$ у них противоположны). Подставим:

\begin{aligned} &AX \cdot AY \\[0.45em] &= \frac{2AB^2 + 2AC^2 - BC^2}{4} \\[0.45em] &\quad - \frac{BC^2}{4} \\[0.45em] &= \frac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2} \\[0.45em] &= AB \cdot AC \cdot \cos A \end{aligned}

— последнее равенство и есть теорема косинусов для стороны $BC$

Высота BR и подобные треугольники ARX и AYC

Треугольник остроугольный, поэтому основание высоты $R$ лежит на стороне $AC$ и из прямоугольного треугольника $ABR$ получаем $AR = AB \cos A$ Значит,

\begin{aligned} &AR \cdot AC \\[0.45em] &= AB \cdot AC \cdot \cos A \\[0.45em] &= AX \cdot AY. \end{aligned}

Перепишем это как пропорцию $\dfrac{AR}{AY} = \dfrac{AX}{AC}$ . У треугольников $ARX$ и $AYC$ угол при $A$ общий (точка $R$ на луче $AC$ точка $X$ на луче $AY$ ), а прилежащие к нему стороны пропорциональны. Значит, $\triangle ARX \sim \triangle AYC$ , где $R$ соответствует $Y$ а $X$ — точке $C$ и

\angle XRA = \angle AYC.

Это то же самое, что сказать: точки $X$ $R$ $C$ $Y$ лежат на одной окружности (оранжевая окружность на рисунке), а внешний угол вписанного четырёхугольника $XRCY$ при вершине $R$ равен внутреннему углу при противоположной вершине $Y$

X

R

C

Y

на одной окружности (

YB^2 = YX \cdot YA

AX \cdot AY = AR \cdot AC

), поэтому

\angle XRA = \angle AYC = 38^\circ + 25^\circ = 63^\circ

Угол AYC и ответ

Угол $AYC$ — внешний угол треугольника $ABY$ при вершине $Y$ поэтому он равен сумме двух других углов этого треугольника:

\angle AYC = \angle ABY + \angle BAY = 38^\circ + 25^\circ = 63^\circ.

Итак, $\angle XRA = 63^\circ$ В общем виде $\angle XRA = 2\angle ABC - \angle ABX$ : длины сторон в ответ не входят.

Проверка

Проверка координатами: при $\angle B = 38^\circ$ и $\angle BAY = 25^\circ$ треугольник определён с точностью до подобия; его углы $A \approx 66{,}62^\circ$ и $C \approx 75{,}38^\circ$ — он действительно остроугольный. Если положить $B = (0; 0)$ $C = (1; 0)$ построить $X$ на $AY$ по равенству $YX \cdot YA = YB^2$ и основание высоты $R$ то угол $ABX$ получается $13^\circ$ угол $XRA$ — $63^\circ$ а окружность через $X$ $R$ $C$ проходит через $Y$ Тест модели повторяет это для многих остроугольных треугольников и для всех четырёх версий. Другие официальные версии: ID 6434 ( $\angle ABC = 42^\circ$ $\angle ABX = 16^\circ$ ): $2 \cdot 42^\circ - 16^\circ = 68^\circ$ ; ID 6435 ( $49^\circ$ $22^\circ$ ): $2 \cdot 49^\circ - 22^\circ = 76^\circ$ ; ID 6436 ( $53^\circ$ $35^\circ$ ): $2 \cdot 53^\circ - 35^\circ = 71^\circ$ .

Ответ

$63^\circ$

Ответ

$63^\circ$

Главная идея

Из ∠XBY = ∠YAB подобны треугольники YBX и YAB: YB² = YX·YA. Через формулу медианы AX·AY = AB·AC·cos A = AR·AC, поэтому X, R, C, Y на одной окружности и ∠XRA = ∠AYC = ∠ABC + ∠BAY = 2∠ABC − ∠ABX.

Равные углы с общей вершиной на прямой дают подобие и степень точки; равенство произведений отрезков на двух лучах из одной точки — четыре точки на одной окружности.

Где легко ошибиться

Пытаться найти углы A и C по отдельности (это сложное тригонометрическое уравнение); забыть, что ∠XBY = ∠ABC − ∠ABX, и взять ∠BAY = 13°; спутать соответствие вершин в подобии ARX и AYC и получить ∠XRA = ∠ACY.

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · математика · 11 класс · 2026/27 · отборочный этап, второй тур (2 попытка, 01.11.2026). Задача 10, версия с ID 6433 — первая в официальном файле; другие версии этого номера (ID 6434, 6435, 6436) можно выбрать в модели.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 8) ↗ · Указания к решению от организатора ↗ · Архив заданий олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение записано до сверки с указаниями организатора; затем ответ совпадает с ответом организатора («Указания к решению: математика, 11 класс, 2 попытка 2026/27», стр. 7 ↗: ID 6433: 63°; ID 6434: 68°; ID 6435: 76°; ID 6436: 71°.). Сверены все четыре официальные версии этого номера. Таблица официальных ответов была прочитана при разборе входных данных до собственного решения; указания к решению не открывались.

Продолжить тему: Треугольники и углы →

Тема, знания и приёмы

Треугольники и углы · Начальный вход

Подобие треугольников по двум углам и по углу и двум сторонам
Формула длины медианы
Теорема косинусов
Внешний угол треугольника

Приёмы решения: Подобие треугольников · Дополнительное построение

Задать вопрос по задаче →