Физтех 2026/27 · Математика · 11 кл., №5 — решение · Отборочный этап

Условие

Пусть $s$ — сумма корней уравнения

\begin{aligned} &2\cos\left(\dfrac{3x}{2} - \dfrac{\pi}{10}\right) \\[0.45em] &+ \sin\left(\dfrac{\pi}{5} - \dfrac{x}{2}\right) = 0, \end{aligned}

которые принадлежат отрезку $\left[\dfrac{12\pi}{5}; \dfrac{112\pi}{5}\right]$ . Найдите $\dfrac{s}{\pi}$

О задаче · 11 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Отборочный этап, второй тур (2 попытка, 01.11.2026)
Предмет / класс: Математика · 11 класс
Сезон: 2026/27

Аргументы $\frac{3x}{2} - \frac{\pi}{10}$ и $\frac{\pi}{5} - \frac{x}{2}$ связаны: первый «почти» втрое больше второго. Попробуй новую переменную, в которой уравнение станет проще. В модели сначала посмотри на корни сам: если застрял, там есть помощь по шагам. Ниже можно сверить ответ.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеКорни на графике

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Корни на графике

Сколько корней на отрезке и чему равна их сумма?

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Если модель не открылась, попробуй так. Сделай замену u = x/2 − π/5 и нарисуй график 2 sin 3u + sin u на отрезке от π до 3π. Отметь его нули и посмотри, как они расположены относительно 3π/2.

Подсказка 1

Подбери замену $u = \frac{x}{2} - c$ так, чтобы первый аргумент стал $3u + \frac{\pi}{2}$ а второй — $-u$

Подсказка 2

При $u = \frac{x}{2} - \frac{\pi}{5}$ получится $2\sin 3u + \sin u = 0$ Раскрой $\sin 3u = 3\sin u - 4\sin^3 u$ и найди два семейства корней. Сумма корней $u = \pm\alpha + \pi k$ не зависит от $\alpha$ корни стоят парами симметрично.

Разобрать решение по шагам

Замена переменной

Хотим, чтобы косинус превратился в синус того же «простого» аргумента. Положим $u = \frac{x}{2} - \frac{\pi}{5}$ , то есть $x = 2u + \frac{2\pi}{5}$ Тогда

\frac{3x}{2} - \frac{\pi}{10} = 3u + \frac{3\pi}{5} - \frac{\pi}{10} = 3u + \frac{\pi}{2},

\frac{\pi}{5} - \frac{x}{2} = -u.

Так как $\cos\left(3u + \frac{\pi}{2}\right) = -\sin 3u$ и $\sin(-u) = -\sin u$ уравнение принимает вид

\begin{aligned} &-2\sin 3u - \sin u = 0 \\[0.45em] &\iff 2\sin 3u + \sin u = 0. \end{aligned}

Решаем уравнение для u

По формуле тройного угла $\sin 3u = 3\sin u - 4\sin^3 u$ уравнение принимает вид $6\sin u - 8\sin^3 u + \sin u = 0$ , то есть

\sin u \cdot (7 - 8\sin^2 u) = 0.

Два семейства корней: - $\sin u = 0$ $u = \pi k$ - $\sin^2 u = \frac{7}{8}$ $u = \pm\alpha + \pi k$ где $\alpha = \arcsin\sqrt{\frac{7}{8}} = \arcsin\frac{\sqrt{14}}{4}$ , $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ .

На рисунке — эти корни на единичной окружности.

\sin u \cdot (7 - 8 \sin^2 u) = 0

; корни

\alpha

\pi - \alpha

симметричны относительно

\frac{\pi}{2}

в сумме

\pi

\alpha

сокращается

Отрезок для u и количество корней

Когда $x$ пробегает отрезок $\left[\frac{12\pi}{5}; \frac{112\pi}{5}\right]$ , половина $\frac{x}{2}$ пробегает $\left[\frac{6\pi}{5}; \frac{56\pi}{5}\right]$ , а $u$ на $\frac{\pi}{5}$ меньше:

u = \frac{x}{2} - \frac{\pi}{5} \in [\pi; 11\pi].

$u = \pi k$ $k = 1, 2, \ldots, 11$ — $11$ корней (оба конца отрезка — корни!), сумма $\pi(1 + 2 + \ldots + 11) = 66\pi$ .
$u = \pi k + \alpha$ $k = 1, \ldots, 10$ — $10$ корней (при $k = 11$ уже больше $11\pi$ ).
$u = \pi k - \alpha$ $k = 2, \ldots, 11$ — $10$ корней (при $k = 1$ меньше $\pi$ ).

Суммы и возврат к x

Сумма корней второго семейства:

\begin{aligned} &(\pi(1 + \ldots + 10) + 10\alpha) \\[0.45em] &+ (\pi(2 + \ldots + 11) - 10\alpha) \\[0.45em] &= 55\pi + 65\pi = 120\pi. \end{aligned}

$\alpha$ сократилось: корни $\pi k + \alpha$ и $\pi(k + 1) - \alpha$ симметричны относительно $\pi k + \frac{\pi}{2}$ Всего $31$ корень и $\sum u = 66\pi + 120\pi = 186\pi$ . Каждый корень $x = 2u + \frac{2\pi}{5}$ поэтому

s = 2 \cdot 186\pi + 31 \cdot \frac{2\pi}{5} = 372\pi + \frac{62\pi}{5} = 384{,}4\,\pi,

\frac{s}{\pi} = 384{,}4.

Короткий путь — зеркальные пары. Отрезок $[\pi; 11\pi]$ симметричен относительно $u = 6\pi$ Если $u$ — корень, то и $12\pi - u$ — корень:

\begin{aligned} &2\sin 3(12\pi - u) \\[0.45em] &+ \sin(12\pi - u) \\[0.45em] &= -(2\sin 3u + \sin u) = 0. \end{aligned}

Значит, $31$ корень разбиваются на $15$ пар с суммой $12\pi$ в каждой и средний корень $u = 6\pi$ $\sum u = 31 \cdot 6\pi = 186\pi$ . На оси $x$ центр симметрии $x = 2 \cdot 6\pi + \frac{2\pi}{5} = 12{,}4\,\pi$ , и сразу $s = 31 \cdot 12{,}4\,\pi = 384{,}4\,\pi$ . В модели это помощь «Соединить зеркальные пары»; на других отрезках так делать можно, только если корни действительно стоят парами — это надо проверить.

Проверка

Тест независимо ищет корни исходного уравнения численно (смена знака на мелкой сетке и деление пополам, концы отрезка проверяются отдельно — они корни) и получает те же $31$ корень и $\frac{s}{\pi} = 384{,}4$ Во всех версиях после замены получается то же уравнение $2\sin 3u + \sin u = 0$ Другие официальные версии: ID 6414: $u = \frac{x}{2} + \frac{\pi}{10} \in \left[\frac{11\pi}{20}; \frac{131\pi}{20}\right]$ , $18$ корней, $\frac{s}{\pi} = 122{,}4$ ID 6415: $u = \frac{x}{2} - \frac{3\pi}{10} \in \left[-\frac{23\pi}{20}; \frac{137\pi}{20}\right]$ , $24$ корня, $\frac{s}{\pi} = 150{,}4$ ID 6416: $u = \frac{x}{2} - \frac{\pi}{10} \in [-\pi; 11\pi]$ , $37$ корней ( $13 + 12 + 12$ ), $\sum u = 185\pi$ $\frac{s}{\pi} = 370 + \frac{37}{5} = 377{,}4$ .

Ответ

$384{,}4$

Ответ

$384{,}4$

Главная идея

Замена $u = \dfrac{x}{2} - \dfrac{\pi}{5}$ даёт $\sin u\,(7 - 8\sin^2 u) = 0$ ; на $[\pi; 11\pi]$ $11$ корней $\pi k$ и $20$ корней $\pm\alpha + \pi k$ сумма которых $120\pi$ ( $\alpha$ сокращается), итого $\sum x = 2 \cdot 186\pi + 31 \cdot \dfrac{2\pi}{5} = 384{,}4\,\pi$ .

Аргументы вида $\dfrac{3x}{2} + a$ и $\dfrac{x}{2} + b$ — замена, после которой получаются $\sin 3u$ и $\sin u$ сумма корней $\pm\alpha + \pi k$ на симметричном наборе не зависит от $\alpha$

Где легко ошибиться

Потерять корни на концах отрезка ( $u = \pi$ и $u = 11\pi$ ); посчитать корни $\pm\alpha + \pi k$ неверно на краях; забыть слагаемое $31 \cdot \dfrac{2\pi}{5}$ при возврате к $x$

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · математика · 11 класс · 2026/27 · отборочный этап, второй тур (2 попытка, 01.11.2026). Задача 5, версия с ID 6413 — первая в официальном файле; другие версии этого номера (ID 6414, 6415, 6416) можно выбрать в модели.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 4) ↗ · Указания к решению от организатора ↗ · Архив заданий олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение записано до сверки с указаниями организатора; затем ответ совпадает с ответом организатора («Указания к решению: математика, 11 класс, 2 попытка 2026/27», стр. 3–4 ↗: ID 6413: 384,4; ID 6414: 122,4; ID 6415: 150,4; ID 6416: 377,4.). Сверены все четыре официальные версии этого номера. Таблица официальных ответов была прочитана при разборе входных данных до собственного решения; указания к решению не открывались.

Продолжить тему: Тригонометрия →

Тема, знания и приёмы

Тригонометрия · Нужна школьная база

Формулы приведения
Формула синуса тройного угла
Серии корней тригонометрических уравнений

Приёмы решения: Удачная подстановка или замена · Симметрия и попарное соответствие · Последовательный подсчёт без повторов

Задать вопрос по задаче →