Задача 7. Касающаяся окружность и хорды

Гомотетия с центром P

Напомним, что такое гомотетия с центром $P$ и коэффициентом $\lambda > 0$: каждая точка $Z$ переходит в точку $Z'$ на луче $PZ$ с $PZ' = \lambda \cdot PZ$. Она переводит прямые в параллельные им прямые, окружности — в окружности, а касающиеся фигуры — в касающиеся.

Окружности $\omega$ (радиус $r$, центр $I$) и $\Omega$ касаются изнутри в точке $P$, поэтому точки $P$, $I$, $O$ лежат на одной прямой и $PI = r$, $PO = R$. Гомотетия с центром $P$ и коэффициентом $\dfrac{R}{r}$ переводит $I$ в $O$, а $\omega$ — в $\Omega$. Этим мы и воспользуемся: она «перенесёт» касание с прямой $MN$ с маленькой окружности на большую.

Куда попадают E и X

Точка $E$ лежит на $\omega$, поэтому её образ лежит на $\Omega$ и на луче $PE$. На этом луче, кроме $P$, есть только одна точка $\Omega$ — это $X$. Значит, гомотетия переводит $E$ в $X$.

Прямая $MN$ касается $\omega$ в точке $E$. Её образ — прямая, параллельная $MN$ и касающаяся $\Omega$ в точке $X$. Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, поэтому

(второе — так же, через точку $F$). Где именно лежит $X$: точка $E$ находится внутри $\Omega$ между $P$ и $X$, поэтому $X$ лежит по другую сторону от прямой $MN$, чем $P$ и вся окружность $\omega$ (а значит, и чем точка $K$). Так же $Y$ лежит по другую сторону от $KL$, чем $M$.

Угол XOY

Обозначим $\angle MOK = \varphi$. Луч $OX$ получается из луча $OM$ поворотом на $90^\circ$ в сторону от $K$, а луч $OY$ — из $OK$ поворотом на $90^\circ$ в сторону от $M$. Если идти от $OX$ к $OY$ через $OM$ и $OK$, пройдём $90^\circ + \varphi + 90^\circ = 180^\circ + \varphi$. Оставшаяся часть полного оборота и есть угол между лучами:

Хорды и ответ

Хорда, которая видна из центра под углом $\theta$, равна $2R\sin\dfrac{\theta}{2}$ (равнобедренный треугольник с боковыми сторонами $R$ делится высотой на два прямоугольных). Поэтому

Отсюда $MK = \sqrt{4 \cdot 17^2 - 30^2} = \sqrt{1156 - 900} = \sqrt{256} = 16$.