Физтех 2026/27 · Математика · 11 кл., №1 — решение · Отборочный этап

Условие

Сколько у числа $290304$ делителей, являющихся точными квадратами?

О задаче · 11 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Отборочный этап, второй тур (2 попытка, 01.11.2026)
Предмет / класс: Математика · 11 класс
Сезон: 2026/27

Начни с разложения $290304$ на простые множители. Попробуй выписать несколько делителей-квадратов: $1$ $4$ $9$ $16$ … Что общего в разложениях у квадратов? В модели собирай делители из простых множителей. Ниже можно сверить ответ.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеСчёты простых множителей

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Счёты простых множителей

Какие делители числа — точные квадраты и сколько их?

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Если модель не открылась, попробуй так. Выпиши разложение 290304 = 2⁹ · 3⁴ · 7 и составь несколько делителей: выбери показатель у 2 (от 0 до 9), у 3 (от 0 до 4) и у 7 (0 или 1). Для каждого проверь, квадрат ли он, и посмотри на показатели a, b, c.

Подсказка 1

Разложи число на простые множители. Каким должен быть показатель каждого простого множителя у точного квадрата?

Подсказка 2

У делителя-квадрата показатель каждого простого чётный и не больше показателя в $290304$ Для каждого простого выбирай чётный показатель независимо от остальных, а количества вариантов перемножь.

Разобрать решение по шагам

Раскладываем 290304 на простые множители

Чтобы описать все делители, нужно знать, из каких простых множителей состоит число. Делим на $2$ пока делится:

\begin{aligned} &290304 \to 145152 \\[0.45em] &\to 72576 \to 36288 \\[0.45em] &\to 18144 \to 9072 \to 4536 \\[0.45em] &\to 2268 \to 1134 \to 567. \end{aligned}

Двойка поделилась девять раз, осталось нечётное $567 = 81 \cdot 7 = 3^4 \cdot 7$ . Итак,

290304 = 2^9 \cdot 3^4 \cdot 7.

Проверка: $2^9 \cdot 567 = 512 \cdot 567 = 290304$ .

Как устроены делители и когда делитель — квадрат

Любой делитель $d$ числа $2^9 \cdot 3^4 \cdot 7$ содержит только эти простые и не в большей степени:

d = 2^a \cdot 3^b \cdot 7^c,

где $0 \le a \le 9$ $0 \le b \le 4$ $0 \le c \le 1$ Когда $d$ — точный квадрат? Если $d = m^2$ то каждое простое входит в $m^2$ вдвое большее число раз, чем в $m$ — показатель чётный. Наоборот, если $a, b, c$ чётные, то

d = \left(2^{\frac{a}{2}} \cdot 3^{\frac{b}{2}} \cdot 7^{\frac{c}{2}}\right)^2

— квадрат. Итак, $d$ — квадрат ровно тогда, когда все три показателя чётные.

Считаем варианты

Показатели выбираются независимо друг от друга, поэтому число вариантов перемножается: - $a \in \{0, 2, 4, 6, 8\}$ — $5$ вариантов; - $b \in \{0, 2, 4\}$ — $3$ варианта; - $c \in \{0\}$ — $1$ вариант (единица — нечётна, семёрка в квадрат входить не может).

5 \cdot 3 \cdot 1 = 15.

На рисунке — все делители вида $2^a \cdot 3^b$ (при $c = 0$ ): квадраты — зелёные клетки, это $5$ столбцов по $3$ клетки.

делитель

2^a \cdot 3^b \cdot 7^0

числа

290304 = 2^9 \cdot 3^4 \cdot 7

: чётные

a

—

5

столбцов, чётные

b

—

3

строки, всего

5 \cdot 3 \cdot 1 = 15

квадратов

Общее правило

Если $N = p_1^{e_1} \cdots p_k^{e_k}$ , то у показателя $p_i$ есть $\left\lfloor \dfrac{e_i}{2} \right\rfloor + 1$ чётных значений от $0$ до $e_i$ и делителей-квадратов

\begin{aligned} &\left(\left\lfloor \frac{e_1}{2} \right\rfloor + 1\right) \cdot \ldots \\[0.45em] &\ldots \cdot \left(\left\lfloor \frac{e_k}{2} \right\rfloor + 1\right). \end{aligned}

Для $290304$ $(4 + 1)(2 + 1)(0 + 1) = 15$ .

Проверка

Перебор всех $100 = 10 \cdot 5 \cdot 2$ делителей числа $290304$ находит ровно $15$ точных квадратов: $1, 4, 9, 16, 36, \ldots, 20736 = 144^2$ . Тест сверяет формулу с прямым перебором для всех $N \le 2000$ Другие официальные версии: ID 6398: $259200 = 2^7 \cdot 3^4 \cdot 5^2$ , ответ $4 \cdot 3 \cdot 2 = 24$ ID 6399: $466560 = 2^7 \cdot 3^6 \cdot 5$ , ответ $4 \cdot 4 \cdot 1 = 16$ ID 6400: $225792 = 2^9 \cdot 3^2 \cdot 7^2$ , ответ $5 \cdot 2 \cdot 2 = 20$

Ответ

$15$

Ответ

$15$

Главная идея

Делитель — квадрат ровно тогда, когда все показатели в его разложении чётные; чётные показатели для каждого простого выбираются независимо: 5 · 3 · 1 = 15.

Вопрос о делителях особого вида (квадраты, кубы, чётные) — разложи число на простые и опиши делитель набором показателей.

Где легко ошибиться

Считать вариант c = 1 для семёрки (7 — не квадрат); забыть показатель 0 (делитель 1 тоже квадрат); ошибиться в разложении — двойка делит 290304 девять раз.

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · математика · 11 класс · 2026/27 · отборочный этап, второй тур (2 попытка, 01.11.2026). Задача 1, версия с ID 6397 — первая в официальном файле; другие версии этого номера (ID 6398, 6399, 6400) можно выбрать в модели.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 1) ↗ · Указания к решению от организатора ↗ · Архив заданий олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение записано до сверки с указаниями организатора; затем ответ совпадает с ответом организатора («Указания к решению: математика, 11 класс, 2 попытка 2026/27», стр. 1 ↗: ID 6397: 15; ID 6398: 24; ID 6399: 16; ID 6400: 20.). Сверены все четыре официальные версии этого номера. Таблица официальных ответов была прочитана при разборе входных данных до собственного решения; указания к решению не открывались.

Продолжить тему: Делимость и простые множители →

Тема, знания и приёмы

Делимость и простые множители · Нужна школьная база

Разложение на простые множители
Правило произведения

Приёмы решения: Разложение на множители · Последовательный подсчёт без повторов

Задать вопрос по задаче →