Кратчайший путь по поверхности коробки

Какие размеры имеет прямоугольник после разворачивания двух соседних граней? Где на нём находятся начало и конец пути и как вычислить длину соединяющего их отрезка?

Для проверки полноты возьмите произвольный путь и первую точку $P$ на грани, содержащей $C_1$. Лежит ли $P$ также на грани через $A$? Можно ли выпрямить оба участка пути?

1. Почему достаточно двух граней

Мы умеем сравнивать пути на развёртке двух граней. Но сначала нужно доказать, что путь через большее число граней не может оказаться короче всех таких вариантов. Заменим произвольный путь более простым, не увеличивая длину.

Назовём три грани, содержащие $A$, начальными, а три грани, содержащие $C_1$, конечными. Возьмём любой непрерывный путь конечной длины по поверхности и его первую точку $P$ на объединении конечных граней. Такая первая точка существует: конечные грани — замкнутое множество, путь непрерывен и заканчивается в нём.

До $P$ путь лежит на начальных гранях, а их объединение тоже замкнуто. Поэтому $P$ принадлежит некоторой начальной грани $F$ и некоторой конечной грани $G$. Противоположные грани не пересекаются, значит, $F$ и $G$ соседние.

Длина начального участка пути не меньше прямого расстояния $AP$, а конечного — не меньше $PC_1$. Оба отрезка лежат на соответствующих прямоугольных гранях. Итак, любой путь можно заменить не более длинным путём по двум соседним граням. Это охватывает и пути через рёбра, через вершины, с многократными переходами и возвращениями.

2. Все пары и все возможные длины

Обозначим размеры параллелепипеда $a,b,h$. Начальную грань можно выбрать тремя способами, и для неё подходят две соседние конечные грани: всего шесть пар. При разворачивании каждой пары получается прямоугольник, у которого одна сторона — сумма двух размеров, а другая — оставшийся размер. Вершины $A$ и $C_1$ становятся противоположными углами этого прямоугольника. Самый короткий путь на нём — диагональ; она действительно пересекает общее ребро внутри, поскольку оба складываемых размера положительны. Шесть пар дают по два раза каждую из трёх длин:

$$\begin{aligned} L_1&=\sqrt{(a+b)^2+h^2},\\ L_2&=\sqrt{(a+h)^2+b^2},\\ L_3&=\sqrt{(b+h)^2+a^2}. \end{aligned}$$ Значит, кратчайшее расстояние равно именно минимуму этих трёх выражений, а не просто не превосходит его.

Открыть модель к этому разбору ↑

3. Определяем, какая развёртка выигрывает

Здесь $a=4$, $b=5$. Если бы $h\le5$, существовал бы путь длины

$$L_1=\sqrt{81+h^2}\le\sqrt{106}<15,$$

что противоречит условию. Значит, $h>5$.

Сравним квадраты длин: так мы избавимся от корней, сохранив порядок положительных величин. Подставим размеры, раскроем квадраты и сократим $h^2$:

$$\begin{aligned} L_2^2-L_1^2&=(h+4)^2+5^2-9^2-h^2\\ &=8h+16+25-81\\ &=8(h-5)>0,\\[4pt] L_3^2-L_1^2&=(h+5)^2+4^2-9^2-h^2\\ &=10h+25+16-81\\ &=10(h-4)>0. \end{aligned}$$

При искомой высоте самый короткий путь даёт первая развёртка.

4. Высота и объём

Из $L_1=15$ получаем

$$81+h^2=225,\qquad h^2=144,\qquad h=12.$$

Высота положительна. Найденное значение действительно больше $5$, поэтому выбранная ветвь согласована с условием. Можно также проверить все три квадрата длин:

$$L_1^2=225,\qquad L_2^2=281,\qquad L_3^2=305.$$

Значит, кратчайший путь равен $\sqrt{225}=15$, а объём —

$$V=4\cdot5\cdot12=240.$$

$240$

Сначала доказать, что любой поверхностный путь заменяется путём по паре соседних граней, и только затем сравнивать диагонали развёрток.

Для противоположных вершин прямоугольной коробки все грани делятся на две тройки по концам пути. Первая точка перехода между тройками даёт сокращение произвольного маршрута.

Сразу приравнять одну выбранную диагональ развёртки к $15$. Нужно сначала доказать полноту кандидатов и установить, какая из них минимальна при найденных размерах.

В задачах о кратчайшем пути развёртка даёт кандидата. Отдельно ищите аргумент, почему произвольный маршрут не короче. Тема: развёртки многогранников.

Рассмотрены все шесть соседних пар начальной и конечной граней; противоположные пары не имеют общей точки. Лемма о первой конечной грани покрывает произвольное число пересечений рёбер, в том числе касания вершин и проходы по рёбрам. Диагональ каждой двухгранной развёртки допустима. При $h\le5$ условие невозможно; при $h>5$ первая длина строго минимальна, и её равенство $15$ даёт единственную положительную высоту. Найденный параллелепипед существует, а кратчайший путь достигается прямым отрезком развёртки. Отражения и две симметричные реализации одной длины не создают новых объёмов.