Два значения одной функции

Что получится при подстановке $x=8$? Какое второе значение функции появится рядом с нужным?

При каком аргументе выражение $1-x$ вернётся к 8? Запишите тождество для этого аргумента и сравните два уравнения.

1. Замыкаем пару аргументов

При $x=8$ исходное тождество даёт

$$2f(8)+f(-7)=12.$$

Аргумент $-7$ полезен тем, что повторное преобразование $x\mapsto1-x$ возвращает $8$: $1-(-7)=8$. Поэтому подставим $x=-7$:

$$f(8)+2f(-7)=-3.$$

Теперь у нас два уравнения с двумя неизвестными значениями функции.

2. Исключаем лишнее значение

Умножим первое уравнение на 2. Теперь коэффициенты при $f(-7)$ совпадают:

$$\begin{aligned} 4f(8)+2f(-7)&=24,\\ f(8)+2f(-7)&=-3. \end{aligned}$$

Вычтем второе уравнение из первого — неизвестное $f(-7)$ исчезнет:

$$3f(8)=24-(-3)=27.$$

Следовательно, $f(8)=9$. Из первого исходного уравнения также получаем $f(-7)=12-18=-6$.

3. Проверяем совместимость тождества

Найденные два значения согласуются с обоими уравнениями: $2\cdot9-6=12$ и $9-12=-3$. Более того, функция $f(x)=x+1$ определена на всей действительной прямой и удовлетворяет исходному условию: при замене аргумента на $1-x$ имеем

$$\begin{aligned} f(1-x)&=(1-x)+1\\ &=2-x. \end{aligned}$$

Поэтому

$$2(x+1)+(2-x)=x+4.$$

Итак, условие непротиворечиво: система вынуждает $f(8)=9$, а пример $f(x)=x+1$ показывает, что такая функция действительно существует.

$9$

Преобразование $x\mapsto1-x$ при повторении возвращает исходный аргумент, поэтому два функциональных равенства образуют замкнутую систему.

Если аргументы функции связаны преобразованием, которое обращает само себя, запишите тождество при обоих аргументах.

Угадать $f(x)=x+1$ и сразу выписать $f(8)=9$. Проверка угаданной функции показывает лишь, что она подходит. Система при $x=8$ и $x=-7$ доказывает, что любая функция, удовлетворяющая тождеству, даёт то же значение $f(8)$.

При тождестве с аргументами $x$ и $c-x$ попробуйте повторить подстановку. Она обычно даёт систему для двух значений функции без предварительного угадывания всей функции.