Три различных корня композиции

Рассмотрите минимум $m$ параболы. Сколько решений может иметь $f(x)=t$, когда уровень $t$ находится ниже, на уровне или выше минимума?

Пусть $a<b$ — корни $f$. Как должны распределиться три различных решения между уравнениями $f(x)=a$ и $f(x)=b$?

1. Почему у исходного трёхчлена два различных корня

Если у $f$ нет действительных корней, равенство $f(f(x))=0$ невозможно. Если у $f$ единственный действительный корень $a$ (двукратный), композиция обращается в ноль только при $f(x)=a$, а это квадратное уравнение имеет не более двух различных решений. Поэтому в нашей задаче у $f$ обязательно два различных действительных корня $a<b$.

2. Точно считаем корни композиции

Обозначим вершину параболы через $(h,m)$: $h=-\dfrac p2$ — её абсцисса, а $m=f(h)=q-\dfrac{p^2}{4}$ — наименьшее значение функции. Ветви направлены вверх. Запись $f(x)=(x-h)^2+m$ показывает: уровень $t<m$ не достигается; уровень $t=m$ достигается один раз; уровень $t>m$ — два раза. При этом равенство $f(f(x))=0$ равносильно тому, что выполнено хотя бы одно из двух равенств:

$$f(x)=a\quad\text{или}\quad f(x)=b.$$ Множества решений двух уравнений не пересекаются, поскольку $a\ne b$. Все возможные положения уровней и итоговые числа корней перечислены в таблице.

В первом столбце указано положение минимума $m$. Столбцы $a$ и $b$ показывают число решений уравнений $f(x)=a$ и $f(x)=b$ соответственно; «Всего» — их сумму.

3. Описываем всё допустимое семейство

Из таблицы условие ровно трёх корней равносильно $m=a$. Введём расстояние между корнями $d=b-a>0$. Поскольку старший коэффициент равен $1$,

$$\begin{aligned} f(x)&=(x-a)(x-b)\\ &=\left(x-\frac{a+b}{2}\right)^2-\frac{(b-a)^2}{4}. \end{aligned}$$

Поэтому $m=-\dfrac{d^2}{4}$, а равенство $m=a$ даёт

$$a=-\frac{d^2}{4},\qquad b=a+d=d-\frac{d^2}{4}.$$

Обратно, для любого $d>0$ эти числа различны, а трёхчлен $(x-a)(x-b)$ имеет минимум $a$ и потому ровно три различных корня композиции. Это полная классификация, а не только необходимое условие.

4. Максимизируем сумму корней

Искомая сумма в найденном семействе равна

$$\begin{aligned} a+b&=d-\frac{d^2}{2}\\ &=\frac12-\frac{(d-1)^2}{2}\le\frac12. \end{aligned}$$

Равенство получается при $d=1$, что допустимо, поскольку $d>0$. Тогда

$$a=-\frac14,\qquad b=\frac34.$$

Получаем

$$\begin{aligned} f(x)&=\left(x+\frac14\right)\left(x-\frac34\right)\\ &=x^2-\frac{x}{2}-\frac{3}{16}. \end{aligned}$$

5. Проверяем пример достижения

Для найденного трёхчлена

$$f(x)=\left(x-\frac14\right)^2-\frac14.$$

Уровень $-\dfrac14$ совпадает с минимумом, поэтому уравнение $f(x)=-\dfrac14$ имеет единственный корень $x=\dfrac14$.

Для второго уровня равенство $f(x)=\dfrac34$ равносильно уравнению

$$\left(x-\frac14\right)^2=1.$$

Извлекаем корень с обоими знаками: $x=\dfrac14\pm1$. Отсюда ещё два корня: $x=-\dfrac34$ и $x=\dfrac54$. Всего получились ровно три различных числа

$$-\frac34,\qquad\frac14,\qquad\frac54.$$

Поэтому граница $\dfrac12$ действительно достигается. Кратность корня $\dfrac14$ в многочлене композиции не увеличивает число различных корней.

$\dfrac12=0{,}5$

Считать корни композиции как прообразы корней внешнего многочлена, затем выразить допустимые параболы через расстояние между их корнями.

Если требуется ровно нечётное число различных решений у композиции с квадратным трёхчленом, проверьте совпадение одного из уровней с вершиной параболы.

Уравнивать «три различных корня» с «тремя корнями с учётом кратности» нельзя. В примере вершина даёт двукратный корень композиции, но только одно значение $x$.

При другом положительном старшем коэффициенте сохраняется классификация уровней относительно минимума. Сначала установите число прообразов каждого корня, а уже затем подставляйте конкретный коэффициент.