Сумма целых частей квадратов

Как связать целую часть частного с делимым и остатком? Запишите деление $k^2$ на 7 с остатком.

Сравните остатки квадратов $k$ и $k+7$. Сколько полных блоков длины 7 помещается в диапазоне от 1 до 100 и что остаётся за ними?

1. Отделяем остатки от целых частей

Целая часть числа — наибольшее целое число, не превосходящее его. Для каждого $k$ обозначим через $r_k$ остаток $k^2$ при делении на $7$. Тогда $k^2=7q_k+r_k$, где $q_k$ — целое число, а $0\le r_k<7$. Значит,

$$\dfrac{k^2}{7}=q_k+\dfrac{r_k}{7},$$

причём $0\le\dfrac{r_k}{7}<1$. Поэтому

$$\left[\dfrac{k^2}{7}\right]=q_k=\dfrac{k^2-r_k}{7}.$$

Вместо $100$ отдельных округлений достаточно вычислить сумму квадратов и сумму их остатков.

2. Используем период длины 7

При замене $k$ на $k+7$ квадрат увеличивается на

$$(k+7)^2-k^2=14k+49=7(2k+7),$$

то есть на число, делящееся на $7$. Поэтому $r_{k+7}=r_k$. Вычислим остатки в первом блоке $k=1,2,\ldots,7$; в каждом следующем блоке они повторятся в том же порядке.

3. Складываем остатки и квадраты

Сумма остатков одного блока равна

$$1+4+2+2+4+1+0=14.$$

Так как $100=14\cdot7+2$, числа от $1$ до $98$ образуют четырнадцать полных блоков. Ещё остаются $99$ и $100$: при делении на $7$ они дают остатки $1$ и $2$, а их квадраты — остатки $1$ и $4$. Поэтому сумма всех остатков равна

$$\sum_{k=1}^{100}r_k=14\cdot14+1+4=201.$$

Теперь используем школьную формулу суммы квадратов:

$$\sum_{k=1}^{N}k^2=\dfrac{N(N+1)(2N+1)}6.$$

При $N=100$ она даёт

$$\begin{aligned} \sum_{k=1}^{100}k^2&=\dfrac{100\cdot101\cdot201}{6}\\ &=50\cdot101\cdot67\\ &=338350. \end{aligned}$$

4. Возвращаемся к исходной сумме

Сложим равенства из первого шага по всем $k$ от $1$ до $100$:

$$\begin{aligned} \sum_{k=1}^{100}\left[\dfrac{k^2}{7}\right] &=\dfrac{338350-201}{7}\\ &=\dfrac{338149}{7}\\ &=48307. \end{aligned}$$

Четырнадцать полных блоков и два последних слагаемых учтены отдельно, поэтому ни одно число из исходного диапазона не потерялось.

$48307$

Заменить каждую целую часть точным делением с остатком, затем использовать периодичность остатков квадратов.

В длинной сумме целых частей с одним знаменателем часто выгодно суммировать исходные числа и отдельно вычитать периодические остатки.

Нельзя выносить целую часть за знак суммы: обычно $\sum\lfloor a_k\rfloor\ne\lfloor\sum a_k\rfloor$. Здесь отброшенные дробные части в сумме дают $\dfrac{201}{7}$, поэтому их нельзя игнорировать.

Для сходной суммы со знаменателем $m$ выпишите остатки квадратов за один полный период длины $m$, затем разделите диапазон на полные блоки и остаток диапазона.