Натуральные решения показательного уравнения

Обозначьте $K=23^3$. Какие простые множители может содержать основание правой степени и что произойдёт с их показателями при возведении в степень $K$?

Обозначьте показатели простых множителей основания через $a$ и $b$, то есть запишите его как $23^a3^b$. Как выразить $x$ и $y$ через $K$, $a$ и $b$? Подставьте найденные выражения в равенство $23x+3y=23^a3^b$ и исследуйте делимость обеих частей.

1. Сравниваем простые множители

Обозначим показатель всей скобки через $K=23^3=12167$, а её основание — через $N=23x+3y$. Тогда исходное уравнение имеет вид

$$N^K=23^x3^y.$$

Натуральные $x,y$ положительны, поэтому справа присутствуют оба простых множителя 23 и 3. Простое число делит степень только тогда, когда делит её основание. Поэтому и 23, и 3 делят $N$. Других простых делителей у $N$ быть не может: они присутствовали бы и в $N^K$. Следовательно,

$$N=23^a3^b,\qquad a,b\ge1.$$

Сравним показатели простых множителей по обе стороны. По единственности разложения

$$x=Ka,\qquad y=Kb.$$

Подставим их в определение $N$:

$$K(23a+3b)=23^a3^b.$$

2. Ограничиваем показатель $a$

Левая часть последнего равенства делится на $23^3$, а показатель $23$ в правой части равен $a$, поэтому $a\ge3$. Делим равенство на $23^3$: $$23a+3b=23^{a-3}3^b.\tag{1}$$ Правая часть делится на $3$, значит, $23a$ также делится на $3$. Так как $23$ на $3$ не делится, $a$ кратно $3$. Поэтому либо $a=3$, либо $a\ge6$.

3. Исключаем все $a\ge6$ одной оценкой

Значений $a\ge6$ бесконечно много, поэтому прямой перебор здесь не поможет. Вместо этого покажем: при любом таком $a$ правая часть уравнения (1) уже больше левой, какое бы натуральное $b$ мы ни взяли.

Докажем для всех целых $a\ge6$ оценку $23^{a-3}>23a$.

При $a=6$ она верна:

$$23^3=12167>138=23\cdot6.$$

Если оценка верна для некоторого $a\ge6$, то для следующего значения получаем

$$\begin{aligned} 23^{a-2}&=23\cdot23^{a-3}\\ &>23\cdot23a\\ &>23(a+1). \end{aligned}$$

Первое неравенство следует из предположения, второе — из $23a>a+1$. Значит, оценка сохраняется при каждом увеличении $a$ на 1.

Остаётся сравнить зависимость от $b$: степень $3^b$ удобно оценить снизу линейным выражением $b+1$. При $b\ge1$ имеем $3^b=(1+2)^b\ge1+2b\ge b+1$. Тогда

$$\begin{aligned} 23^{a-3}3^b&>23a(b+1)\\ &=23a+23ab\\ &>23a+3b. \end{aligned}$$ Это противоречит (1). Следовательно, остаётся только $a=3$.

4. Находим единственный показатель $b$

При $a=3$ равенство (1) имеет вид $69+3b=3^b$, или $$b+23=3^{b-1}.$$ Значение $b=4$ подходит: $4+23=27=3^3$. Других натуральных $b$ нет. Действительно, разность $G(b)=3^{b-1}-b-23$ строго возрастает. При $b\ge1$ имеем

$$\begin{aligned} G(b+1)-G(b)&=2\cdot3^{b-1}-1\\ &>0. \end{aligned}$$ Она не может дважды обращаться в ноль.

5. Возвращаемся к $x,y$ и проверяем решение

Получаем единственную возможную пару $$\begin{aligned} x&=3K=36501,\\ y&=4K=48668. \end{aligned}$$ Для неё

$$\begin{aligned} 23x+3y&=(69+12)K\\ &=81K=3^4\cdot23^3. \end{aligned}$$ Поэтому $$\begin{aligned} (23x+3y)^K&=(23^3\cdot3^4)^K\\ &=23^{3K}\cdot3^{4K}\\ &=23^x\cdot3^y. \end{aligned}$$ Пара действительно удовлетворяет исходному уравнению. Значит, максимум существует и равен $x+y=7K=85169$; писать $0$ не требуется.

$85169$

единственная натуральная пара — $(36501,48668)$.

Единственность разложения на простые множители переводит большое показательное уравнение в уравнение для двух маленьких показателей; сравнение роста исключает бесконечный хвост.

Если одна сторона содержит лишь фиксированные простые числа, основание целой степени на другой стороне также состоит только из этих простых множителей.

Проверить несколько небольших показателей недостаточно, чтобы доказать максимум. Нужно исключить все остальные значения; здесь это делает оценка для $a\ge6$ и строгая монотонность $G(b)$.

В сходном уравнении сначала сравните простые множители и кратности показателей. После этого отделите малые граничные случаи, а бесконечный диапазон исключите одной доказанной оценкой.