Коды с заданным произведением цифр

Какие цифры могут содержать простой множитель 5? Сколько раз этот множитель встречается в 240?

Отделите цифру с множителем 5. Как перечислить наборы остальных цифр, сначала не учитывая их порядок?

1. Отделяем обязательную цифру

Имеем $240=2^4\cdot3\cdot5$. Нулевой цифры нет, иначе произведение было бы нулём. Цифры $7$ также нет, поскольку 7 не делит 240. Из ненулевых цифр только $5$ содержит простой множитель $5$; поскольку $25$ не делит $240$, цифра $5$ встречается ровно один раз. Её место можно выбрать пятью способами.

Остальные четыре цифры имеют произведение $48=2^4\cdot3$. В нём только один множитель $3$, поэтому ровно одна из этих цифр равна $3$ или $6$. Все остальные — из множества $\{1,2,4,8\}$. Цифра $9$ невозможна: она содержала бы два множителя $3$.

2. Перечисляем все наборы без пропусков

Разберём два случая по цифре, содержащей множитель $3$.

Эта цифра равна 3. Три остальные цифры должны дать произведение $16$. Если наименьшая из них равна $1$, две другие имеют произведение $16$: это пары $(2,8)$ и $(4,4)$. Если наименьшая равна $2$, остаётся пара $(2,4)$. Наименьшая цифра не может быть $4$ или $8$: тогда произведение трёх цифр было бы не меньше $4^3=64$. Получаем три набора:

$$(1,2,8),\qquad(1,4,4),\qquad(2,2,4).$$

Эта цифра равна 6. Три остальные цифры должны дать произведение $8$. Если наименьшая равна $1$, остаются пары $(1,8)$ и $(2,4)$. Если наименьшая равна $2$, обе другие тоже равны $2$. Наименьшая цифра не может быть больше $2$: тогда произведение было бы не меньше $4^3=64$. Получаем:

$$(1,1,8),\qquad(1,2,4),\qquad(2,2,2).$$

Случаи не пересекаются: каждый набор содержит либо единственную цифру $3$, либо единственную цифру $6$. Порядок цифр пока не учитывали — к нему переходим отдельно.

3. Учитываем порядок четырёх цифр

У четырёх различных цифр $4!=24$ порядка. Если две цифры одинаковы, каждая расстановка посчиталась дважды, поэтому получаем $\dfrac{4!}{2!}=12$. Если одинаковы три цифры, число порядков равно $\dfrac{4!}{3!}=4$. Полный подсчёт приведён в таблице.

4. Возвращаем цифру 5

Сложим числа из таблицы, сгруппировав одинаковые слагаемые:

$$2\cdot24+3\cdot12+4=88.$$

Для каждого порядка четырёх цифр цифру $5$ можно поставить на одно из пяти мест. Получаем

$$5\cdot88=440.$$

Разные наборы или разные места цифры $5$ не дают совпадающих кодов. Каждый подходящий код при удалении его единственной цифры $5$ попадает ровно в одну строку таблицы.

$440$

Сначала выделить обязательную цифру, затем перечислить наборы остальных цифр и отдельно учесть их порядок.

Когда задано произведение цифр, простые множители числа ограничивают возможные цифры и их повторения.

Умножать каждый набор на $4!$ нельзя: перестановка одинаковых цифр не меняет код. Например, набор $(2,2,2,6)$ даёт только четыре порядка.

В другом подсчёте кодов с заданным произведением сначала составьте список допустимых наборов, а затем для каждого набора учтите повторяющиеся цифры. Полноту списка доказывайте по распределению простых множителей.