Максимум квадратичного выражения

Раскройте квадрат $(x+y)^2$ и сравните его с выражением из условия. Какое слагаемое добавилось?

Выразите искомую величину через $xy$, а затем через $(x+y)^2$. Как известный знак квадрата поможет получить верхнюю границу?

1. Выделяем величину с известным знаком

В искомом выражении по сравнению с условием изменился только знак при $xy$. Обозначим искомое выражение через $T$ и выразим его через известную сумму и $xy$:

$$\begin{aligned} T&=(x^2+xy+y^2)-2xy\\ &=7-2xy. \end{aligned}$$

Из равенства $T=7-2xy$ видно: чем меньше $xy$, тем больше $T$. Значит, нужна нижняя граница для $xy$. В условии уже есть $x^2+y^2$; добавление ещё одного $xy$ превращает эту сумму в квадрат $(x+y)^2$. Квадрат всегда неотрицателен — это и даст нужную оценку:

$$\begin{aligned} (x+y)^2&=x^2+2xy+y^2\\ &=7+xy. \end{aligned}$$

Следовательно, $xy=(x+y)^2-7$.

2. Получаем верхнюю границу

Подставляем найденное равенство:

$$\begin{aligned} T&=7-2\bigl((x+y)^2-7\bigr)\\ &=21-2(x+y)^2\le21. \end{aligned}$$

Неравенство верно, потому что $(x+y)^2\ge0$.

3. Проверяем достижение границы

Для равенства требуется $x+y=0$, то есть $y=-x$. В исходном условии тогда

$$x^2-x^2+x^2=7,$$

откуда $x=\sqrt7$ или $x=-\sqrt7$. Пары $(\sqrt7,-\sqrt7)$ и $(-\sqrt7,\sqrt7)$ допустимы; для них $T=7+7+7=21$. Значит, $21$ — именно максимум, а не только верхняя оценка.

$21$

достигается при $(x,y)=(\sqrt7,-\sqrt7)$ и $(-\sqrt7,\sqrt7)$.

Представить искомое выражение как постоянную минус неотрицательный квадрат и проверить, когда квадрат обращается в ноль.

При сравнении выражений $x^2+xy+y^2$ и $x^2-xy+y^2$ полезны квадраты суммы и разности.

Одной оценки $T\le21$ недостаточно: необходимо найти допустимые $x,y$, для которых получается равенство.

В следующей задаче на максимум попробуйте вычесть искомое выражение из предполагаемой границы. Если разность стала суммой квадратов, остаётся проверить совместимость условий равенства с исходными ограничениями.