Математика · 11 класс

Кодовый замок открывается пятизначным цифровым кодом. Известно, что произведение всех пяти цифр кода равно $240$. Сколько различных кодов удовлетворяют этому условию?

Функция $f$ определена на всех действительных числах и удовлетворяет тождеству

$$2f(x)+f(1-x)=x+4$$

при всех $x$. Найдите $f(8)$.

На продолжении диагонали $AC$ параллелограмма $ABCD$ за точку $A$ отмечена точка $X$ так, что треугольник $BCX$ и параллелограмм $ABCD$ равновелики. Найдите площадь параллелограмма, если $CD=6$, $CB=17$, $BX=25$.

Числа $x$, $y$ таковы, что $x^2+xy+y^2=7$. Какое наибольшее значение может принимать выражение $x^2-xy+y^2$?

Найдите значение суммы

$$\left[\dfrac1{7}\right]+\left[\dfrac{2^2}{7}\right]+\cdots+\left[\dfrac{100^2}{7}\right]$$

(здесь $[x]$ — целая часть числа $x$).

Трёхчлен $f(x)=x^2+px+q$ таков, что многочлен $f(f(x))$ имеет ровно $3$ корня. Найдите максимально возможную сумму корней трёхчлена $f(x)$.

Точка $V$ лежит на боковой стороне $ZW$ трапеции $WXYZ$ с основаниями $WX$ и $YZ$, причём $\angle ZYV=\angle VXW$. Найдите основание $YZ$, если $WX=24$, $WV=9$, $ZV=7$, $XV=27$.

Муравей ползает только по поверхности прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Кратчайший путь из вершины $A$ в противоположную ей вершину $C_1$ равен $15$. Найдите объём параллелепипеда, если $AB=4$ и $BC=5$.

Сколькими способами число $26$ можно представить в виде упорядоченной суммы слагаемых, каждое из которых равно $1$ или $2$, так чтобы последовательность слагаемых была палиндромом (читалась одинаково с обоих концов)?

Натуральные числа $x$ и $y$ являются решением уравнения

$$23^x\cdot3^y=(23x+3y)^{23^3}.$$

Какое наибольшее значение может принимать выражение $x+y$? Если наибольшего значения нет, запишите в ответ $0$.