Математика · 11 класс

Пусть $a$, $b$, $c$ — три попарно различных числа. Для каждой пары из чисел $a$, $b$ и $c$ выписывается приведённый квадратный трёхчлен, корнями которого является эта пара чисел. Обозначим полученные трёхчлены $f_1$, $f_2$, $f_3$. Найдите сумму $S = a^2 + b^2 + c^2$, если наименьшее значение трёхчлена $f = f_1 + f_2 + f_3$ равно $-1$, а $f(0) = 11$. (Сами числа $a$, $b$ и $c$ не даны.)

Сколько шестизначных чисел можно составить из цифр $0$, $1$, $2$, $3$, $7$, $8$ и $9$, чтобы две из этих цифр использовались в записи числа ровно по два раза, а каждая из остальных цифр — не более одного раза?

Решите систему уравнений:

В треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $AN$. Обозначим через $Q$ точку пересечения продолжения высоты $BP$ треугольника $ABC$ за точку $P$ с описанной около этого треугольника окружностью $\omega$. Найдите площадь треугольника $BCQ$, если $BC = 24$, углы $\angle BNA$ и $\angle BAC$ равны, а радиус окружности $\omega$ равен $13$.

Решите неравенство

В четырёхугольной пирамиде $SABCD$ известны длины всех рёбер: $AB = BC = CD = DA = 5$, $SB = 2\sqrt5$, $SA = SC = 3\sqrt5$, $SD = 2\sqrt{10}$. Сфера $\omega$ с диаметром $SB$ пересекает грани пирамиды по множеству, состоящему из точки $S$ и линии $L$, не содержащей точку $S$. Найдите длину линии $L$.

Найдите все положительные значения параметра $a$, при которых система

имеет ровно два решения.