Задача 6. Сфера на ребре пирамиды

Какая это пирамида

$SB^2 + AB^2 = 20 + 25 = 45 = SA^2$, поэтому $\angle SBA = 90^\circ$. Точно так же $SB^2 + BC^2 = SC^2$ и $\angle SBC = 90^\circ$. Ребро $SB$ перпендикулярно двум пересекающимся прямым основания, значит, $SB$ — высота пирамиды, а $B$ — её основание.

Основание $ABCD$ — ромб со стороной $5$. Из прямоугольного треугольника $SBD$: $BD^2 = SD^2 - SB^2 = 40 - 20 = 20$.

Какие точки граней лежат на сфере

Точка $X$ лежит на сфере с диаметром $SB$ ровно тогда, когда $X = S$, $X = B$ или $\angle SXB = 90^\circ$.

Возьмём боковое ребро, выходящее из $S$, например $SA$. На прямой $SA$ сфере принадлежат $S$ и основание $K_A$ перпендикуляра, опущенного из $B$ на $SA$: ведь $\angle SK_AB = 90^\circ$. Так же получаются точки $K_C$ на $SC$ и $K_D$ на $SD$.

Плоскость каждой боковой грани пересекает сферу по окружности, проходящей через $S$. На ней лежат и обе точки, полученные на рёбрах этой грани (на ребре $SB$ такая точка — сама $B$). Эти точки делят окружность на три дуги. Дуги, прилегающие к $S$, лежат по другую сторону от боковых рёбер, то есть вне грани. Внутри грани остаётся дуга между двумя другими точками. Опирающийся на неё вписанный угол с вершиной $S$ — это угол грани при вершине $S$, поэтому центральный угол дуги вдвое больше.

Грани SAB и SBC

Плоскость $SAB$ содержит диаметр $SB$, поэтому сечение — окружность радиуса $\sqrt5$. Внутри грани лежит дуга от $B$ до $K_A$, и она не выходит за сторону $AB$: так как $SB \perp AB$, прямая $AB$ касается окружности в точке $B$.

$\cos\angle ASB = \dfrac{SB}{SA} = \dfrac{2\sqrt5}{3\sqrt5} = \dfrac23$, и $K_A$ действительно лежит на ребре: $SK_A = SB\cos\angle ASB = \dfrac{4\sqrt5}{3} < 3\sqrt5$. Длина дуги:

Грань $SBC$ такая же ($SC = SA$, $BC = BA$), её дуга той же длины.

Грани SCD и SDA

В грани $SCD$ окружность сечения проходит через $S$, $K_C$ и $K_D$.

Угол при вершине:

, то есть $\angle CSD = 45^\circ$. Значит, центральный угол дуги $K_CK_D$ равен $90^\circ$.

Радиус найдём по хорде $K_CK_D$. Здесь $SK_C = \dfrac{4\sqrt5}{3}$ (как в шаге 3), а $SK_D = SB \cdot \dfrac{SB}{SD} = \dfrac{20}{2\sqrt{10}} = \sqrt{10}$ — это середина $SD$. По теореме косинусов

Хорда с центральным углом $90^\circ$ равна $r\sqrt2$, поэтому $r = \dfrac{5}{3}$. Длина дуги: $\dfrac{5}{3} \cdot \dfrac{\pi}{2} = \dfrac{5\pi}{6}$.

Дуга не выходит за сторону $CD$. Расстояние от $S$ до прямой $CD$ равно $\dfrac{2S_{SCD}}{CD}$, где $S_{SCD} = \frac12 \cdot 3\sqrt5 \cdot 2\sqrt{10} \cdot \frac{\sqrt2}{2} = 15$, то есть $6$. А все точки окружности удалены от $S$ не больше чем на диаметр $\frac{10}{3}$.

Грань $SDA$ симметрична грани $SCD$ относительно плоскости $SBD$ (так как $SA = SC$ и $BA = BC$), её дуга тоже $\dfrac{5\pi}{6}$.

Основание и итог

Плоскость основания перпендикулярна диаметру $SB$ в его конце $B$, поэтому она касается сферы: общая точка одна — $B$, длины она не добавляет.

Четыре дуги образуют замкнутую линию $L$: $B \to K_A \to K_D \to K_C \to B$; точка $S$ на ней не лежит, как и сказано в условии. Её длина

Так как $\operatorname{tg}\left(\arccos\frac23\right) = \frac{\sqrt5}{2}$, это то же, что $4\sqrt5\operatorname{arctg}\frac{\sqrt5}{2} + \frac{5\pi}{3}$.