Задача 7. Окружность и ломаная с параметром

Первое уравнение — окружность

$x^2 - 2x + 1 + y^2 - 6y + 9 = 4$, то есть $(x - 1)^2 + (y - 3)^2 = 4$ — окружность с центром $(1; 3)$ и радиусом $2$.

Второе уравнение — три части

Пусть $a > 0$.

• $x \geqslant a$: $|x| - |x - a| - a = x - (x - a) - a = 0$, и уравнение становится $0 = 2(x - a)$, то есть $x = a$ при любом $y$. Это вся вертикальная прямая $x = a$.
• $0 \leqslant x < a$: скобка равна $x - (a - x) - a = 2(x - a) \ne 0$, поэтому $y = 1$. Это отрезок от $(0; 1)$ до прямой $x = a$.
• $x < 0$: скобка равна $-x - (a - x) - a = -2a$, поэтому $y = \dfrac{a - x}{a} = 1 - \dfrac{x}{a}$. Это луч прямой $x + ay = a$, идущий из точки $(0; 1)$ влево и вверх.

Множество $M$ решений второго уравнения состоит из прямой, отрезка и луча. Точки разных частей не совпадают: на луче $x < 0$, на прямой $x = a > 0$.

Общие точки с каждой частью

• Прямая $x = a$ удалена от центра на $|a - 1|$. Две общие точки при $0 < a < 3$, одна (касание в $(3; 3)$) при $a = 3$, ни одной при $a > 3$.
• Прямая $y = 1$ удалена от центра ровно на $2$: она касается окружности в точке $(1; 1)$. Эта точка лежит на отрезке, только если $1 < a$. При $a = 1$ она лежит на прямой $x = a$ и уже посчитана.
• Прямая $x + ay - a = 0$ удалена от центра на $\dfrac{|1 + 3a - a|}{\sqrt{1 + a^2}} = \dfrac{1 + 2a}{\sqrt{1 + a^2}}$. Это меньше $2$, когда $(1 + 2a)^2 < 4(1 + a^2)$, то есть $a < \frac34$; при $a = \frac34$ — касание. Общие точки прямой и окружности лежат на луче: подстановка $y = 1 - \frac{x}{a}$ даёт $\left(1 + \frac1{a^2}\right)x^2 + \left(\frac4a - 2\right)x + 1 = 0$. При $a \leqslant \frac34$ произведение корней положительно, а сумма отрицательна, значит, оба корня отрицательны.

Считаем решения

Складываем точки на прямой, отрезке и луче:

• $0 < a < \frac34$: $2 + 0 + 2 = 4$;
• $a = \frac34$: $2 + 0 + 1 = 3$;
• $\frac34 < a \leqslant 1$: $2 + 0 + 0 = 2$;
• $1 < a < 3$: $2 + 1 + 0 = 3$;
• $a = 3$: $1 + 1 + 0 = 2$;
• $a > 3$: $0 + 1 + 0 = 1$.

Ровно два решения — при $a \in \left(\frac34; 1\right] \cup \{3\}$.