Математика · 11 класс · Физтех 2025/26 · заключительный этап

Задача 5. Неравенство из двух квадратов

Условие

Решите неравенство

(1−cos⁡xcos⁡π8)2−sin⁡2xsin⁡2π8+(2sin⁡2x−2)2⩽0.\left(1 - \cos x \cos\frac{\pi}{8}\right)^2 - \sin^2 x \sin^2\frac{\pi}{8} + \left(2\sin 2x - \sqrt2\right)^2 \leqslant 0.
О задаче · 11 класс
Олимпиада
Физтех (МФТИ)
Этап
Заключительный этап, вариант 1
Предмет / класс
Математика · 11 класс
Сезон
2025/26

Последнее слагаемое — квадрат, оно не бывает отрицательным. А первые два? Попробуй раскрыть скобку и заменить sin⁡2x\sin^2 x через cos⁡2x\cos^2 x — не получится ли тоже квадрат? Когда сумма неотрицательных чисел может быть ⩽0\leqslant 0? В модели можно менять xx и смотреть на обе части левой стороны. Ниже — ответ для сверки.

Ответ — серия значений xx. Сравни свой ответ с ответом ниже и проверь, не потерял ли ты лишние или нужные значения.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеЛевая часть как функция x

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Левая часть как функция x

Может ли левая часть стать отрицательной и при каких x она равна нулю?

Если модель не открылась, попробуй так. Подставь несколько значений x, например 0, π/6 и π/4, и вычисли обе части левой стороны.

Подсказка 1

Раскрой квадрат и используй sin⁡2x=1−cos⁡2x\sin^2 x = 1 - \cos^2 x, sin⁡2π8=1−cos⁡2π8\sin^2\frac{\pi}{8} = 1 - \cos^2\frac{\pi}{8}. Первые два слагаемых свернутся в (cos⁡x−cos⁡π8)2\left(\cos x - \cos\frac{\pi}{8}\right)^2.

Подсказка 2

Левая часть — сумма двух квадратов, она ⩽0\leqslant 0 только когда оба квадрата равны нулю: cos⁡x=cos⁡π8\cos x = \cos\frac{\pi}{8} и sin⁡2x=22\sin 2x = \frac{\sqrt2}{2}. Найди общие решения — например, на единичной окружности.

Разобрать решение по шагам
1

Первые два слагаемых — тоже квадрат

Обозначим c=cos⁡π8c = \cos\frac{\pi}{8}, s=sin⁡π8s = \sin\frac{\pi}{8}, так что s2=1−c2s^2 = 1 - c^2. Раскроем скобку и заменим sin⁡2x=1−cos⁡2x\sin^2 x = 1 - \cos^2 x:

(1−ccos⁡x)2−s2sin⁡2x=1−2ccos⁡x+c2cos⁡2x−(1−c2)(1−cos⁡2x).(1 - c\cos x)^2 - s^2\sin^2 x = 1 - 2c\cos x + c^2\cos^2 x - (1 - c^2)(1 - \cos^2 x).

Последнее произведение равно 1−cos⁡2x−c2+c2cos⁡2x1 - \cos^2 x - c^2 + c^2\cos^2 x. После вычитания слагаемые c2cos⁡2xc^2\cos^2 x и единицы сокращаются:

=cos⁡2x−2ccos⁡x+c2=(cos⁡x−c)2.= \cos^2 x - 2c\cos x + c^2 = (\cos x - c)^2.
2

Сумма квадратов не больше нуля

Неравенство принимает вид

(cos⁡x−cos⁡π8)2+(2sin⁡2x−2)2⩽0.\left(\cos x - \cos\frac{\pi}{8}\right)^2 + \left(2\sin 2x - \sqrt2\right)^2 \leqslant 0.

Сумма двух квадратов неотрицательна, поэтому неравенство выполнено только когда оба квадрата равны нулю:

cos⁡x=cos⁡π8,sin⁡2x=22.\cos x = \cos\frac{\pi}{8}, \qquad \sin 2x = \frac{\sqrt2}{2}.
3

Общие решения двух уравнений

Первое уравнение: x=±π8+2πkx = \pm\frac{\pi}{8} + 2\pi k.

Второе: 2x=π4+2πn2x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n или 2x=3π4+2πn2x = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n, то есть x=π8+πnx = \frac{\pi}{8} + \pi n или x=3π8+πnx = \frac{3\pi}{8} + \pi n.

Проверим обе серии первого уравнения.

  • x=π8+2πkx = \frac{\pi}{8} + 2\pi k: sin⁡2x=sin⁡π4=22\sin 2x = \sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt2}{2} — подходит.
  • x=−π8+2πkx = -\frac{\pi}{8} + 2\pi k: sin⁡2x=sin⁡(−π4)=−22\sin 2x = \sin\left(-\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt2}{2} — не подходит.

Ответ: x=π8+2πkx = \frac{\pi}{8} + 2\pi k, k∈Zk \in \mathbb{Z}.

π/8−π/83π/89π/811π/8оранжевые: cos x = cos π/8зелёные: sin 2x = √2/2
На единичной окружности решения первого уравнения (оранжевые) и второго (зелёные) совпадают только в точке π/8.

Проверка

Проверим по-другому: разность квадратов в первых двух слагаемых раскладывается на множители,

(1−cos⁡xcos⁡π8−sin⁡xsin⁡π8)(1−cos⁡xcos⁡π8+sin⁡xsin⁡π8)=(1−cos⁡(x−π8))(1−cos⁡(x+π8))(1 - \cos x \cos\frac{\pi}{8} - \sin x \sin\frac{\pi}{8})(1 - \cos x\cos\frac{\pi}{8} + \sin x \sin\frac{\pi}{8}) = \left(1 - \cos\left(x - \frac{\pi}{8}\right)\right)\left(1 - \cos\left(x + \frac{\pi}{8}\right)\right)

. Оба множителя неотрицательны, и произведение равно нулю при x=±π8+2πkx = \pm\frac{\pi}{8} + 2\pi k — те же точки, что дало cos⁡x=cos⁡π8\cos x = \cos\frac{\pi}{8}. Подстановка x=π8x = \frac{\pi}{8}: первая часть (1−c2)2−s4=s4−s4=0(1 - c^2)^2 - s^4 = s^4 - s^4 = 0, вторая (2−2)2=0(\sqrt2 - \sqrt2)^2 = 0. В модели график левой части касается оси xx сверху в точках 22,5∘22{,}5^\circ и −337,5∘-337{,}5^\circ и нигде не опускается ниже.

Ответ

x=π8+2πkx = \dfrac{\pi}{8} + 2\pi k, k∈Zk \in \mathbb{Z}.

Ответ

x=π8+2πkx = \dfrac{\pi}{8} + 2\pi k, k∈Zk \in \mathbb{Z}.

Главная идея

Первые два слагаемых сворачиваются в (cos x − cos π/8)², так что левая часть — сумма двух квадратов и может быть ≤ 0 только когда оба равны нулю.

Неравенство вида «выражение ≤ 0», где почти всё — квадраты: проверь, не является ли вся левая часть суммой неотрицательных слагаемых.

Где легко ошибиться

Оставить серию x = −π/8 + 2πk (там sin 2x = −√2/2); записать ответ второго уравнения x = π/8 + πn без пересечения с первым; пытаться решать неравенство «в лоб» по интервалам.

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · математика · 11 класс · 2025/26 · заключительный этап, вариант 1, задача 5.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 1) ↗ · Официальные решения (PDF организатора, стр. 3) ↗ · Страница финала на сайте олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Ответ сверен с официальным решением организатора и совпадает с ним; объяснение и модель написаны заново.

Продолжить тему: Тригонометрия →
Тема, знания и приёмы

Тригонометрия · Нужна школьная база

  • Основное тригонометрическое тождество
  • Простейшие тригонометрические уравнения
  • Сумма квадратов равна нулю только когда каждый равен нулю

Приёмы решения: Оценка и достижимость

Задать вопрос по задаче →
Увеличенный рисунок