Задача 3. Система с логарифмами

Область определения

Основания логарифмов: $x > 0$, $x \ne 1$, $y > 0$, $y \ne 1$. Аргументы: $5y - x > 0$ и $5x - y > 0$. Все найденные пары нужно будет проверить по этим условиям.

Новые переменные

Обозначим

Второе уравнение — это $u + v = 4$. В первом перейдём к другим основаниям:

Так как $\log_x y \cdot \log_y x = 1$, первое уравнение превращается в $uv = 4$.

Решаем систему для u и v

Числа $u$ и $v$ с суммой $4$ и произведением $4$ — корни уравнения $t^2 - 4t + 4 = 0$, то есть $(t - 2)^2 = 0$. Значит, $u = v = 2$.

На рисунке это видно: прямая $u + v = 4$ касается гиперболы $uv = 4$ в единственной точке $(2; 2)$.

Возвращаемся к x и y

$u = 2$ означает $5x - y = x^2$, а $v = 2$ — что $5y - x = y^2$. Вычтем второе равенство из первого:

• Если $x = y$, то $4x = x^2$ и $x = 4$ (значение $x = 0$ не входит в область определения). Пара $(4; 4)$.
• Если $x \ne y$, то $x + y = 6$. Подставим $y = 6 - x$ в $5x - y = x^2$: $x^2 - 6x + 6 = 0$, $x = 3 \pm \sqrt3$. Пары $(3 + \sqrt3;\ 3 - \sqrt3)$ и $(3 - \sqrt3;\ 3 + \sqrt3)$.

Проверка области определения

Для всех трёх пар $x$ и $y$ положительны и не равны $1$: $3 - \sqrt3 \approx 1{,}27$, $3 + \sqrt3 \approx 4{,}73$. Аргументы положительны, потому что $5x - y = x^2 > 0$ и $5y - x = y^2 > 0$. Переходы на шаге 2 — тождества на области определения, поэтому все три пары — решения.