Задача 4. Биссектриса, высота и описанная окружность

Угол C равен половине угла A

Пусть $\angle BAC = 2\alpha$; биссектриса делит его на два угла по $\alpha$. Угол $BNA$ — внешний угол треугольника $ANC$ при вершине $N$, поэтому

По условию $\angle BNA = \angle BAC = 2\alpha$, значит, $\angle C = \alpha$.

Где лежат P и Q

Точка $Q$ лежит на продолжении $BP$ за точку $P$, значит, $P$ лежит внутри окружности. Точки прямой $AC$ внутри окружности — это точки хорды $AC$, поэтому основание высоты $P$ лежит на стороне $AC$ и углы $A$ и $C$ острые. Луч $BP$ уходит в ту же полуплоскость относительно $BC$, где лежит $A$, поэтому и $Q$ лежит по ту же сторону от $BC$, что и $A$.

Треугольник BCQ равнобедренный

В прямоугольном треугольнике $BPC$ угол $C$ равен $\alpha$, поэтому $\angle QBC = \angle PBC = 90^\circ - \alpha$.

Вписанные углы $BQC$ и $BAC$ опираются на одну дугу $BC$ и лежат по одну сторону от неё, поэтому $\angle BQC = 2\alpha$.

Третий угол: $\angle QCB = 180^\circ - (90^\circ - \alpha) - 2\alpha = 90^\circ - \alpha$. Углы при $B$ и $C$ равны — треугольник $BCQ$ равнобедренный, $QB = QC$, и $Q$ — середина дуги $BC$, на которой лежит $A$.

Что дают BC = 24 и радиус 13

По теореме синусов $BC = 2R \sin \angle BAC$, то есть $\sin 2\alpha = \dfrac{24}{26} = \dfrac{12}{13}$. Угол $A$ острый (шаг 2), поэтому $\cos 2\alpha = \dfrac{5}{13}$.

То же видно через центр: если $M$ — середина $BC$, то $OM = \sqrt{13^2 - 12^2} = 5$. Так как угол $A$ острый, центр $O$ лежит по ту же сторону от $BC$, что и $A$.

Площадь

Серединный перпендикуляр к $BC$ проходит через $O$ и через середину дуги $Q$. Поэтому высота треугольника $BCQ$ — это $QM = QO + OM = 13 + 5 = 18$, и

Без центра:

, а $QM = 12 \cdot \operatorname{tg}(90^\circ - \alpha) = 12 \cdot \dfrac32 = 18$ — то же самое.