Физтех 2025/26, Математика 11, финал №1 · вар. 1 — Три трёхчлена и их наименьшее значение: решение

Условие

Пусть $a$ $b$ $c$ — три попарно различных числа. Для каждой пары из чисел $a$ $b$ и $c$ выписывается приведённый квадратный трёхчлен, корнями которого является эта пара чисел. Обозначим полученные трёхчлены $f_1$ $f_2$ $f_3$ Найдите сумму $S = a^2 + b^2 + c^2$ если наименьшее значение трёхчлена $f = f_1 + f_2 + f_3$ равно $-1$ а $f(0) = 11$ (Сами числа $a$ $b$ и $c$ не даны.)

О задаче · 11 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Заключительный этап, вариант 1
Предмет / класс: Математика · 11 класс
Сезон: 2025/26

Числа не даны, значит, оба условия должны выражаться через какие-то суммы от $a$ $b$ $c$ Запиши трёхчлен с корнями $p$ и $q$ сложи три таких трёхчлена и посмотри, что получится. Где у параболы $y = Ax^2 + Bx + C$ самая нижняя точка? В модели можно подбирать $a$ $b$ $c$ и следить за $f(0)$ и наименьшим значением. Ниже можно сверить ответ — число $S$

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеТри параболы и их сумма

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Три параболы и их сумма

Меняется ли S, если менять числа так, чтобы наименьшее значение f оставалось −1, а f(0) = 11?

Если модель не открылась, попробуй так. Возьми числа 1, 2, 3, выпиши три трёхчлена, сложи их и найди вершину суммы.

Подсказка 1

Трёхчлен с корнями $p$ и $q$ — это $x^2 - (p + q)x + pq$ Каждое из чисел $a$ $b$ $c$ входит ровно в две пары из трёх. Запиши $f$ через $a + b + c$ и $ab + bc + ca$

Подсказка 2

$f(x) = 3x^2 - 2(a + b + c)x + (ab + bc + ca)$ . Наименьшее значение параболы — в вершине $x_0 = \dfrac{a + b + c}{3}$ . Найди отсюда $(a + b + c)^2$ и вспомни, что $a^2 + b^2 + c^2 = (a + b + c)^2 - 2(ab + bc + ca)$ .

Разобрать решение по шагам

Складываем три трёхчлена

Приведённый трёхчлен с корнями $p$ и $q$ — это $(x - p)(x - q) = x^2 - (p + q)x + pq$ . Пар три: $\{a, b\}$ $\{b, c\}$ $\{c, a\}$

При $x^2$ в сумме стоит $3$
При $x$ стоит минус сумма корней всех трёх трёхчленов. Каждое число входит ровно в две пары, поэтому это $-2(a + b + c)$
Свободные члены — произведения корней: $ab + bc + ca$

Обозначим $p_1 = a + b + c$ и $p_2 = ab + bc + ca$ Тогда

f(x) = 3x^2 - 2p_1 x + p_2.

Условие f(0) = 11

Подставим $x = 0$ $f(0) = p_2$ Значит, $ab + bc + ca = 11$

Наименьшее значение — в вершине

У параболы $y = 3x^2 - 2p_1x + p_2$ ветви направлены вверх, и наименьшее значение достигается в вершине

x_0 = \frac{2p_1}{2 \cdot 3} = \frac{p_1}{3}.

Подставим:

f(x_0) = 3 \cdot \frac{p_1^2}{9} - 2p_1 \cdot \frac{p_1}{3} + p_2 = p_2 - \frac{p_1^2}{3}.

По условию $f(x_0) = -1$ а $p_2 = 11$ поэтому $\dfrac{p_1^2}{3} = 12$ и $p_1^2 = 36$ Само $p_1$ может быть и $6$ и $-6$ — но для ответа знак не нужен.

Пример a = 1, b = 2, c = 3: сумма трёх трёхчленов f(x) = 3x² − 12x + 11 имеет вершину в точке x₀ = 2, наименьшее значение −1 и f(0) = 11.

Сумма квадратов

Раскроем квадрат суммы: $(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2(ab + bc + ca)$ . Отсюда

S = p_1^2 - 2p_2 = 36 - 22 = 14.

Такие числа существуют: $a = 1$ $b = 2$ $c = 3$ попарно различны, $p_1 = 6$ $p_2 = 2 + 6 + 3 = 11$ Числа $-1$ $-2$ $-3$ дают $p_1 = -6$ и то же $S$

Проверка

Проверим на числах $1$ $2$ $3$ считая трёхчлены по отдельности:

(x - 1)(x - 2) + (x - 2)(x - 3) + (x - 1)(x - 3) = (x^2 - 3x + 2) + (x^2 - 5x + 6) + (x^2 - 4x + 3) = 3x^2 - 12x + 11

. Здесь $f(0) = 11$ и $f(2) = 12 - 24 + 11 = -1$ — это вершина, так как $f(x) = 3(x - 2)^2 - 1$ И $S = 1 + 4 + 9 = 14$ В модели во втором режиме оба условия выполнены всё время, а $a$ можно двигать: три серые параболы меняются, синяя сумма и $S$ — нет.

Ответ

$S = 14$

Ответ

$S = 14$

Главная идея

Сумма трёх трёхчленов зависит только от a + b + c и ab + bc + ca; наименьшее значение и f(0) дают обе суммы, а через них выражается a² + b² + c².

Числа не даны, но известны значения симметричного выражения от них — всё выражаем через a + b + c и ab + bc + ca.

Где легко ошибиться

Считать наименьшим значением f(0) или значение в нуле производной; ошибиться в коэффициенте при x (каждое число входит в две пары, а не в одну); искать сами числа a, b, c.

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · математика · 11 класс · 2025/26 · заключительный этап, вариант 1, задача 1.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 1) ↗ · Официальные решения (PDF организатора, стр. 1) ↗ · Страница финала на сайте олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Ответ сверен с официальным решением организатора и совпадает с ним; объяснение и модель написаны заново.

Продолжить тему: Функции и графики →

Тема, знания и приёмы

Функции и графики · Нужна школьная база

Приведённый квадратный трёхчлен и теорема Виета
Вершина параболы
Квадрат суммы трёх чисел

Приёмы решения: Теорема Виета

Задать вопрос по задаче →