Задача 2. Шестизначные числа с повторами и нулём

Из чего состоит запись

В записи шесть знаков. Две цифры — назовём их $x$ и $y$ — встречаются ровно по два раза, это четыре знака. Остальные цифры встречаются не более одного раза, поэтому два оставшихся знака — две разные цифры $z$ и $w$, отличные от $x$ и $y$. Итак, запись состоит из цифр $x, x, y, y, z, w$, где $x, y, z, w$ различны.

Все расстановки, пока не думаем о нуле впереди

Пару $\{x, y\}$ выбираем из семи цифр: $C_7^2 = 21$ способ. Пару $\{z, w\}$ — из оставшихся пяти: $C_5^2 = 10$ способов.

Для выбранных цифр расстановок шести знаков с двумя парами одинаковых:

Всего записей $21 \cdot 10 \cdot 180 = 37\,800$. Среди них есть начинающиеся с нуля — это не шестизначные числа.

Записи с нулём впереди

Ноль может входить в запись дважды (он одна из цифр $x, y$) или один раз (он одна из цифр $z, w$).

• Ноль дважды. Вторую «двойную» цифру выбираем из шести остальных: $6$ способов; две «одиночные» — из оставшихся пяти: $C_5^2 = 10$. Ставим ноль на первое место; на остальных пяти местах стоят $0, y, y, z, w$ — это $\dfrac{5!}{2!} = 60$ расстановок. Итого $6 \cdot 10 \cdot 60 = 3600$.
• Ноль один раз. Две «двойные» цифры — из шести ненулевых: $C_6^2 = 15$; вторая «одиночная» — из оставшихся четырёх: $4$. Ноль впереди, на пяти местах $x, x, y, y, w$: $\dfrac{5!}{2! \cdot 2!} = 30$ расстановок. Итого $15 \cdot 4 \cdot 30 = 1800$.

Ответ