Основание трапеции по равным углам

Какую сумму дают углы при $W$ и $Z$ из-за параллельности оснований? Что это означает для их синусов?

Примените теорему синусов отдельно к $WVX$ и $ZVY$. Какие одинаковые величины сократятся, если разделить полученные равенства?

1. Равные синусы

Обозначим угол при $W$ через $\theta$, а общую величину двух заданных равных углов — через $\varphi$:

$$\begin{aligned} \theta&=\angle VWX,\\ \varphi&=\angle VXW=\angle ZYV. \end{aligned}$$

Поскольку $WX\parallel YZ$, а лучи $WV$ и $ZV$ направлены в противоположные стороны вдоль одной прямой, угол при $Z$ равен $180^\circ-\theta$. Поэтому

$$\begin{aligned} \sin\angle VZY&=\sin\theta,\\ \cos\angle VZY&=-\cos\theta. \end{aligned}$$

2. Находим ещё одну сторону

Синусы углов при $W$ и $Z$ равны, а углы при $X$ и $Y$ совпадают по условию. Теорема синусов связывает эти величины со сторонами.

Применим её к каждому треугольнику:

$$\begin{aligned} \frac{XV}{\sin\theta}&=\frac{WV}{\sin\varphi},\\[5pt] \frac{YV}{\sin\theta}&=\frac{ZV}{\sin\varphi}. \end{aligned}$$

Разделим второе равенство на первое. Равные синусы сокращаются:

$$\frac{YV}{XV}=\frac{ZV}{WV}=\frac79.$$

Следовательно,

$$YV=27\cdot\frac79=21.$$

Открыть модель к этому разбору ↑

3. Вычисляем угол через косинус

В треугольнике $WVX$ известны все три стороны. По теореме косинусов

$$\begin{aligned} \cos\theta &=\frac{WX^2+WV^2-XV^2}{2\,WX\cdot WV}\\ &=\frac{24^2+9^2-27^2}{2\cdot24\cdot9}\\ &=-\frac{72}{432}=-\frac16. \end{aligned}$$

Угол при $Z$ в сумме с углом $\theta$ даёт $180^\circ$, поэтому косинус меняет знак:

$$\cos\angle VZY=-\cos\theta=\frac16.$$

4. Уравнение для основания

Пусть $t=YZ>0$. Теорема косинусов в треугольнике $ZVY$ даёт

$$\begin{aligned} 21^2&=7^2+t^2-2\cdot7t\cdot\frac16\\ &=49+t^2-\frac73t. \end{aligned}$$

Перенесём всё в одну часть и умножим на $3$:

$$\begin{aligned} t^2-\frac73t-392&=0,\\ 3t^2-7t-1176&=0. \end{aligned}$$

Разложим средний член: $-7t=-63t+56t$. Тогда

$$\begin{aligned} 3t(t-21)+56(t-21)&=0,\\ (t-21)(3t+56)&=0. \end{aligned}$$

Получаем $t=21$ или $t=-\dfrac{56}{3}$. Второе значение отрицательно и не может быть длиной. Значит,

$$YZ=21.$$

$21$

Углы, сумма которых равна $180^\circ$, имеют равные синусы. Это позволяет получить отношение сторон теоремой синусов, даже когда треугольники не подобны. Затем нужную сторону находим по теореме косинусов.

В двух треугольниках при параллельных основаниях сопоставляйте не только сами углы, но также их синусы и косинусы.

Объявить треугольники $WVX$ и $ZVY$ подобными только по равенству углов при $X$ и $Y$. Углы при $W$ и $Z$ в сумме дают $180^\circ$, но здесь не равны. Вторую пару равных углов нельзя считать установленной.

Перед применением подобия явно перечисляйте две пары равных углов. Если одна пара лишь даёт в сумме $180^\circ$, попробуйте сравнить синусы. Тема: решение треугольников.

Используется обычная выпуклая трапеция с вершинами в порядке $W,X,Y,Z$. Точка $V$ внутренняя, поскольку $WV=9>0$ и $ZV=7>0$. Все синусы, на которые делили, положительны. Треугольник со сторонами $9$, $24$, $27$ существует: сумма двух меньших сторон равна $33>27$. Единственный положительный корень реализуется, например, при

$$\begin{aligned} W&=(0,0),&X&=(24,0),\\ V&=\left(-\frac32,\frac{3\sqrt{35}}2\right),\\ Z&=\left(-\frac83,\frac{8\sqrt{35}}3\right),\\ Y&=\left(\frac{55}3,\frac{8\sqrt{35}}3\right). \end{aligned}$$

Подстановка подтверждает длины; косинусы обоих исходных углов равны $\dfrac{17}{18}$. Оба угла внутренние, поэтому они равны. Зеркальное отражение не меняет $YZ$.