Равновеликие треугольник и параллелограмм

Как диагональ делит площадь параллелограмма? Сравните площади $BCA$ и $BCX$.

У этих треугольников общая высота из $B$ к прямой $CX$. Что отношение площадей говорит об основаниях $CA$ и $CX$?

1. Площадь превращается в середину

Диагональ делит параллелограмм пополам, а по условию площадь $BCX$ равна площади всего параллелограмма:

$$\begin{aligned} S_{BCA}&=\frac{S_{ABCD}}2,\\ S_{BCX}&=S_{ABCD}. \end{aligned}$$

У треугольников $BCA$ и $BCX$ общая высота из $B$ к прямой $CX$. Поэтому отношение площадей равно отношению оснований:

$$\frac{CX}{CA}=\frac{S_{BCX}}{S_{BCA}}=2.$$

Точка $X$ лежит за $A$, значит, $AX=AC$: точка $A$ — середина $CX$.

2. Получаем треугольник с тремя известными сторонами

Мы уже нашли середину одной стороны большого треугольника $BCX$. Если добавить середину второй стороны, средняя линия даст половину известной стороны $BC$. Так можно получить треугольник, у которого известны все три стороны.

Пусть $E$ — середина $BX$. В треугольнике $BCX$ отрезок $AE$ соединяет середины двух сторон. По свойству средней линии

$$AE=\frac{BC}{2}=\frac{17}{2}=8{,}5.$$

Кроме того, $BE=\dfrac{BX}{2}=12{,}5$, а $AB=CD=6$. Получили треугольник $ABE$ с тремя известными сторонами: $6$, $8{,}5$ и $12{,}5$.

Открыть модель к этому разбору ↑

3. Площадь малого треугольника

По формуле Герона площадь треугольника со сторонами $u,v,w$ равна

$$\begin{gathered} S=\sqrt{p(p-u)(p-v)(p-w)},\\[4pt] p=\frac{u+v+w}{2}, \end{gathered}$$

где $p$ — полупериметр. Для треугольника $ABE$

$$p=\frac{6+8{,}5+12{,}5}{2}=13{,}5.$$

Подставляем стороны:

$$\begin{aligned} S_{ABE}&=\sqrt{13{,}5\cdot7{,}5\cdot5\cdot1}\\ &=\sqrt{506{,}25}=22{,}5. \end{aligned}$$

4. Возвращаемся к исходной фигуре

В треугольнике $BCX$ высота из $A$ к прямой $BX$ вдвое меньше высоты из $C$, поскольку $A$ — середина $CX$. Основание $BE$ тоже вдвое меньше $BX$. Поэтому

$$S_{ABE}=\frac{S_{BCX}}4.$$

Искомая площадь равна

$$\begin{aligned} S_{ABCD}&=S_{BCX}\\ &=4\cdot22{,}5=90. \end{aligned}$$

$90$

Условие о равных площадях превращает точку на продолжении диагонали в середину стороны большого треугольника.

Площади треугольников с коллинеарными основаниями удобно сравнивать через длины оснований. Середины помогают получить треугольник с известными сторонами.

Умножить площадь $ABE$ на $2$. Уменьшены вдвое и основание, и соответствующая высота, поэтому площади отличаются в четыре раза.

Ищите общий отрезок или общую высоту, прежде чем вычислять площадь. Тема: отношения площадей и средняя линия треугольника.

Треугольник со сторонами $6$, $8{,}5$, $12{,}5$ невырожден: сумма двух меньших сторон $6+8{,}5=14{,}5$ больше наибольшей стороны $12{,}5$. Из него можно восстановить $X$ как точку на луче $BE$ с $BX=2BE$, а $C$ как отражение $X$ относительно $A$. Тогда $BC=2AE=17$, $BX=25$, а достроенный параллелограмм имеет $CD=AB=6$ и нужное равенство площадей. Оба зеркальных положения дают одинаковую площадь; других значений при заданных трёх сторонах малого треугольника нет.