Физтех 2025/26 · Физика · 11 кл., №9 — решение · Отборочный этап

Условие

Проволочную рамку в форме правильного шестиугольника с длиной стороны $a = 10$ см перемещают в область однородного магнитного поля с индукцией $B = 1$ Тл (см. рис.). Линии индукции магнитного поля перпендикулярны плоскости рамки. Сопротивление рамки $0{,}1$ Ом.

Найдите модуль заряда, протекшего через произвольное сечение проволоки рамки к моменту времени, когда рамка полностью окажется в области однородного магнитного поля. Ответ приведите в [мКл] с точностью до целых. Самоиндукцией рамки пренебрегите.

Рисунок к условию

О задаче · 11 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Отборочный этап, первый тур (1 попытка)
Предмет / класс: Физика · 11 класс
Сезон: 2025/26

Скорость рамки не дана — значит, она не нужна. Как связаны ток и скорость изменения магнитного потока? В модели можно двигать рамку равномерно и неравномерно и сравнить площади под графиками тока.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеРамка въезжает в поле

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Рамка въезжает в поле

Зависит ли протекший заряд от того, как именно рамку двигают? Что показывает площадь под графиком тока?

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Без JavaScript модель не работает. Поток растёт от 0 до B·S; заряд q = ΔΦ/R при любом законе движения.

Подсказка 1

ЭДС индукции $\mathcal E=\left|\dfrac{d\Phi}{dt}\right|$ , ток $I=\dfrac{\mathcal E}R$ За малое время протекает заряд $dq=I\,dt=\dfrac{|d\Phi|}R$ . Сложи эти заряды.

Подсказка 2

Поток растёт от нуля до $BS$ где $S$ — площадь шестиугольника. Правильный шестиугольник состоит из шести правильных треугольников со стороной $a$

Разобрать решение по шагам

Заряд выражается через изменение потока

Обозначим сопротивление рамки $R=0{,}1$ Ом. Пока рамка въезжает в поле, магнитный поток через неё $\Phi$ растёт, и в рамке возникает ЭДС индукции $\mathcal E=\dfrac{d\Phi}{dt}$ . Самоиндукцией пренебрегаем, поэтому ток $I=\dfrac{\mathcal E}R$ и за время $dt$ через сечение проходит

dq=I\,dt=\frac1R\cdot\frac{d\Phi}{dt}\,dt=\frac{d\Phi}R.

Поток всё время только растёт, ток не меняет направления, поэтому весь заряд

q=\frac{\Delta\Phi}{R}.

Ни скорость, ни то, равномерно ли двигали рамку, не важны.

Площадь шестиугольника

Сначала рамка вне поля, $\Phi_0=0$ В конце она целиком в поле, $\Phi=BS$ Правильный шестиугольник со стороной $a$ — это шесть правильных треугольников со стороной $a$

S=6\cdot\frac{\sqrt3}{4}a^2=\frac{3\sqrt3}{2}a^2=\frac{3\sqrt3}{2}\cdot 0{,}1^2\approx 0{,}025\,98\ \text{м}^2.

Ответ

q=\frac{BS}{R}=\frac{1\cdot 0{,}025\,98}{0{,}1}\approx 0{,}2598\ \text{Кл}\approx 260\ \text{мКл}.

Проверка

В модели площадь под графиком тока одинакова при равномерном и неравномерном движении рамки, хотя сами графики разные. Площадь шестиугольника проверена в тесте формулой площади многоугольника по координатам вершин и численным интегрированием. Размерность: Тл $\cdot$ м $^2$ / Ом = Вб / Ом = Кл.

Ответ

$q=\dfrac{3\sqrt3\,Ba^2}{2R}\approx 260$ мКл.

Ответ

$q=\dfrac{3\sqrt3\,Ba^2}{2R}\approx 260$ мКл.

Главная идея

Заряд, протекший через контур, равен изменению магнитного потока, делённому на сопротивление: $q=\Delta\Phi/R$ Он не зависит от того, как быстро меняли поток.

Спрашивают заряд, протекший при перемещении контура в поле, а скорость не дана: q = ΔΦ/R.

Где легко ошибиться

Пытаться найти ток или ЭДС — для этого нужна скорость, которой нет. Ошибка в площади: взять $\dfrac{\sqrt3}{4}a^2$ (один треугольник) или $\dfrac{3\sqrt3}{4}a^2$

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · физика · 11 класс · 2025/26 · отборочный этап, первый тур (1 попытка). Задача 9, версия с ID 4687 — первая в официальном файле; другие числовые версии этого номера (ID 4688, 4689, 4690) можно выбрать в модели.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 21) ↗ · Сайт олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора, рисунок перерисован по нему. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение написано до знакомства с решением организатора; затем ответ совпадает с решением организатора («Решения Ф11 1 попытка 2025», стр. 2 ↗: |q| = 3√3·B·a²/(2R)).

Продолжить тему: Магнитное поле и индукция →

Тема, знания и приёмы

Магнитное поле и индукция · Нужна школьная база

Закон электромагнитной индукции
Закон Ома
Площадь правильного шестиугольника

Приёмы решения: Инвариант или монотонная величина

Задать вопрос по задаче →