Физтех 2025/26 · Физика · 11 кл., №5 — решение · Отборочный этап

Условие

Герметичный цилиндрический сосуд разделён на две части лёгким поршнем, который может скользить в сосуде без трения. Первая часть сосуда наполнена одним идеальным газом, а вторая другим. Объём первой части сосуда составляет $20\%$ от объёма сосуда. Отношение молярной массы газа в первой части сосуда к молярной массе газа во второй части сосуда равно $2$ Температуры газов одинаковы.

Найдите отношение массы газа в первой части сосуда к массе газа во второй части сосуда. Объём поршня мал по сравнению с объёмом сосуда. Ответ приведите с точностью до десятых.

О задаче · 11 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Отборочный этап, первый тур (1 попытка)
Предмет / класс: Физика · 11 класс
Сезон: 2025/26

Что можно сказать о давлениях по обе стороны лёгкого поршня? А что тогда о количестве вещества в каждой части? В модели точки — это молекулы.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеСосуд с поршнем

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Сосуд с поршнем

Как молекулы распределяются между частями при равных давлении и температуре? Как отсюда получить отношение масс?

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Без JavaScript модель не работает. В части объёмом 20 % молекул вчетверо меньше, чем в части 80 %, но каждая молекула вдвое тяжелее.

Подсказка 1

Лёгкий поршень в равновесии, когда давления равны. Запиши уравнение Клапейрона–Менделеева $pV=\nu RT$ для каждой части: при одинаковых $p$ и $T$ количества вещества относятся как объёмы.

Подсказка 2

Объёмы относятся как $20:80=1:4$ Масса $m=\nu M$ поэтому $\dfrac{m_1}{m_2}=\dfrac{\nu_1}{\nu_2}\cdot\dfrac{M_1}{M_2}$ .

Разобрать решение по шагам

Давления равны

Поршень лёгкий и скользит без трения. Если бы давления слева и справа различались, на поршень действовала бы ненулевая сила, и он бы двигался. В равновесии $p_1=p_2=p$

Количества вещества

Для каждой части $pV_i=\nu_iRT$ и $p$ $T$ одинаковы. Значит,

\frac{\nu_1}{\nu_2}=\frac{V_1}{V_2}=\frac{20}{80}=\frac14.

В равных объёмах при равных давлении и температуре — одинаковое число молекул (закон Авогадро).

Отношение масс

Масса газа $m=\nu M$

\frac{m_1}{m_2}=\frac{\nu_1M_1}{\nu_2M_2}=\frac14\cdot 2=0{,}5.

Проверка

Проверка подстановкой: возьмём $M_2=1$ $m_2=1$ тогда $M_1=2$ $m_1=0{,}5$ Давление первой части пропорционально $\dfrac{m_1}{M_1V_1}=\dfrac{0{,}5}{2\cdot 20}=\dfrac1{80}$ , второй — $\dfrac{1}{1\cdot 80}=\dfrac1{80}$ . Давления равны, как и должно быть.

Ответ

$\dfrac{m_1}{m_2}=\dfrac{V_1}{V_2}\cdot\dfrac{M_1}{M_2}=0{,}5$ .

Ответ

$\dfrac{m_1}{m_2}=\dfrac{V_1}{V_2}\cdot\dfrac{M_1}{M_2}=0{,}5$ .

Главная идея

Лёгкий подвижный поршень уравнивает давления. При равных $p$ и $T$ количество вещества пропорционально объёму, а масса — количеству вещества, умноженному на молярную массу.

Лёгкий поршень без трения — сигнал «давления равны». Дальше уравнение pV = νRT для каждой части.

Где легко ошибиться

Перепутать долю объёма с отношением объёмов: $20\%$ — это $V_1/V_2=1/4$ а не $1/5$ Или поделить на отношение молярных масс вместо умножения.

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · физика · 11 класс · 2025/26 · отборочный этап, первый тур (1 попытка). Задача 5, версия с ID 4671 — первая в официальном файле; другие числовые версии этого номера (ID 4672, 4673, 4674) можно выбрать в модели.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 12) ↗ · Сайт олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение написано до знакомства с решением организатора; затем ответ совпадает с решением организатора («Решения Ф11 1 попытка 2025», стр. 2 ↗: m1/m2 = (μ1/μ2)/(1/α − 1) (μ1, μ2 — молярные массы, α — доля объёма сосуда, занятая первым газом)).

Продолжить тему: Газы и термодинамика →

Тема, знания и приёмы

Газы и термодинамика · Нужна школьная база

Уравнение Клапейрона–Менделеева
Количество вещества и молярная масса

Приёмы решения: Баланс сохраняемой величины

Задать вопрос по задаче →