Физтех 2025/26 · Физика · 11 кл., №7 — решение · Отборочный этап

Условие

Герметичный цилиндрический сосуд разделён на две части лёгким подвижным поршнем, который может скользить внутри сосуда без трения. В одной части сосуда находится гелий при температуре $300$ К, а в другой — небольшое количество воды и пар при температуре $100\ ^\circ$ C. Из сосуда откачивают $2$ моль гелия. Температуру гелия, температуру воды и водяного пара поддерживают при этом постоянными. В процессе откачки гелия часть воды испаряется.

Найдите приращение внутренней энергии системы «вода + пар» за время перехода из начального состояния в конечное. Универсальная газовая постоянная $R = 8{,}31$ Дж/(моль $\cdot$ К), удельная теплота парообразования воды $2{,}26$ МДж/кг, молярная масса воды $18$ г/моль. Теплопроводность поршня пренебрежимо мала. Ответ приведите в [кДж] и округлите до десятых. Изменение объёма воды в процессе испарения считайте пренебрежимо малым.

О задаче · 11 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Отборочный этап, первый тур (1 попытка)
Предмет / класс: Физика · 11 класс
Сезон: 2025/26

Какое давление по обе стороны поршня и меняется ли оно? Куда сдвинется поршень, когда откачают гелий? В модели можно откачивать гелий постепенно и следить за энергией.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеОткачка гелия

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Откачка гелия

Куда уходит теплота, подведённая для испарения воды? Почему давление при откачке не меняется?

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Без JavaScript модель не работает. Посчитай работу пара p·ΔV = Δν·R·T_He = 4986 Дж и теплоту испарения L·Δm ≈ 65,4 кДж.

Подсказка 1

Пар над водой насыщенный, его давление при постоянной температуре не меняется. Поршень лёгкий, значит, давление гелия тоже постоянно. Тогда при откачке гелий занимает меньше места: объём уменьшается на $\Delta V=\dfrac{\Delta\nu\,RT_{\text{He}}}{p}$ , и этот объём занимает новый пар.

Подсказка 2

Количество нового пара $\nu_{\text{п}}=\dfrac{p\,\Delta V}{RT_{\text{п}}}=\Delta\nu\dfrac{T_{\text{He}}}{T_{\text{п}}}$ . Первый закон термодинамики для системы «вода + пар»: подведена теплота $L\,\Delta m$ пар совершил работу $p\,\Delta V$

Разобрать решение по шагам

Давление не меняется

Над водой — насыщенный пар (вода ещё осталась). Давление насыщенного пара зависит только от температуры, а она постоянна, значит, давление пара $p$ постоянно. Поршень лёгкий и без трения, поэтому давление гелия тоже равно $p$ всё время.

Гелий при постоянных $p$ и $T_{\text{He}}=300$ К: если откачать $\Delta\nu=2$ моль, его объём уменьшится на

\Delta V=\frac{\Delta\nu\,RT_{\text{He}}}{p}.

Поршень сдвигается, и этот объём занимает пар.

Сколько воды испарилось

Пар при том же давлении $p$ и температуре $T_{\text{п}}=373$ К заполняет объём $\Delta V$ (объём воды почти не изменился):

\nu_{\text{п}}=\frac{p\,\Delta V}{RT_{\text{п}}}=\Delta\nu\,\frac{T_{\text{He}}}{T_{\text{п}}}=2\cdot\frac{300}{373}\approx 1{,}6086\ \text{моль},

\Delta m=\nu_{\text{п}}\cdot 0{,}018\approx 0{,}028\,954\ \text{кг}.

Первый закон термодинамики

Чтобы вода испарилась при постоянной температуре, к ней подвели теплоту $Q=L\,\Delta m$ (через поршень теплота не проходит: он не проводит тепло). Пар, расширяясь, совершил над поршнем работу при постоянном давлении:

A=p\,\Delta V=\Delta\nu\,RT_{\text{He}}=2\cdot 8{,}31\cdot 300=4986\ \text{Дж}.

Приращение внутренней энергии системы «вода + пар»:

\Delta U=Q-A=L\,\Delta m-\Delta\nu\,RT_{\text{He}}.

Ответ

\Delta U=2{,}26\cdot 10^6\cdot 0{,}028\,954-4986\approx 65\,437-4986\approx 60\,451\ \text{Дж}\approx 60{,}5\ \text{кДж}.

Давление пара в ответ не вошло: оно сократилось.

Проверка

Проверка: при любом давлении $p$ (например, $101\,325$ Па) объём, освобождённый гелием, совпадает с объёмом нового пара — так и проверено в тесте. Работа составляет около $7{,}6\%$ подведённой теплоты, остальное идёт на внутреннюю энергию. При $T_{\text{п}}=373{,}15$ К: $\Delta m\approx 0{,}028\,943$ кг, $\Delta U\approx 60\,424$ Дж $\approx 60{,}4$ кДж.

Ответ

\Delta U=L\mu\,\Delta\nu\dfrac{T_{\text{He}}}{T_{\text{п}}}-\Delta\nu\,RT_{\text{He}}\approx 60{,}5

кДж (при $T_{\text{п}}=373$ К; при $373{,}15$ К — $60{,}4$ кДж).

Ответ

\Delta U=L\mu\,\Delta\nu\dfrac{T_{\text{He}}}{T_{\text{п}}}-\Delta\nu\,RT_{\text{He}}\approx 60{,}5

кДж (при $T_{\text{п}}=373$ К; при $373{,}15$ К — $60{,}4$ кДж).

Главная идея

Над водой насыщенный пар: при постоянной температуре его давление постоянно. Лёгкий поршень передаёт это давление гелию, поэтому освобождённый гелием объём заполняет новый пар при том же давлении. Внутренняя энергия растёт на теплоту испарения минус работу пара.

Насыщенный пар над жидкостью при постоянной температуре = постоянное давление. Поршень между двумя газами = равные давления.

Где легко ошибиться

Считать, что вся теплота испарения $L\,\Delta m$ ушла во внутреннюю энергию, и забыть работу пара. Или искать давление насыщенного пара: оно сокращается.

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · физика · 11 класс · 2025/26 · отборочный этап, первый тур (1 попытка). Задача 7, версия с ID 4679 — первая в официальном файле; другие числовые версии этого номера (ID 4680, 4681, 4682) можно выбрать в модели.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 15) ↗ · Сайт олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение написано до знакомства с решением организатора; затем ответ совпадает с решением организатора, с уточнением («Решения Ф11 1 попытка 2025», стр. 2 ↗: ΔU = Δν·R·T·(qμ/(R·T0) − 1), T0 = 373 К (Δν — откачанный гелий, T — температура гелия, q — удельная теплота парообразования, μ — молярная масса воды)). Формула совпадает с нашей. Официальный текст явно задаёт T0 = 373 К и тоже описывает пар уравнением Менделеева–Клапейрона, поэтому официальной формуле соответствует наш основной ответ 60,5 кДж; вариант 60,4 кДж (T0 = 373,15 К) официальным текстом не используется.

Продолжить тему: Теплообмен и фазовые переходы →

Тема, знания и приёмы

Теплообмен и фазовые переходы · Начальный вход

Насыщенный пар
Уравнение Клапейрона–Менделеева
Первый закон термодинамики
Теплота парообразования

Приёмы решения: Тепловой баланс по состояниям · Закон сохранения энергии

Задать вопрос по задаче →