Физтех 2025/26 · Физика · 11 кл., №10 — решение · Отборочный этап

Условие

Схема электрической цепи показана на рисунке. ЭДС батареи равна $12$ В, $R = 3$ Ом, $r = 1$ Ом. Индуктивность $L$ катушки переменная. Через некоторое время после замыкания ключа ЭДС самоиндукции в катушке становится равной $\mathcal E_L = \alpha\mathcal E_0$ , где $\alpha = 0{,}5$ $\mathcal E_0$ — ЭДС самоиндукции в катушке сразу после замыкания ключа. Начиная с этого момента времени, индуктивность начинают изменять таким образом, что ЭДС самоиндукции в катушке остаётся постоянной и равной $\mathcal E_L$

Найдите приращение индуктивности катушки за $20$ мс с момента начала её изменения. Ответ приведите в [мГн] с точностью до целых. До замыкания ключа ток в цепи отсутствовал.

Рисунок к условию

О задаче · 11 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Отборочный этап, первый тур (1 попытка)
Предмет / класс: Физика · 11 класс
Сезон: 2025/26

Начальная индуктивность не дана. Подумай, какие токи в цепи определяются только напряжением на катушке. Что происходит с ними, когда это напряжение держат постоянным? В модели видно, как ведут себя напряжение и ток катушки.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеНапряжение и ток катушки

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Напряжение и ток катушки

Что происходит с токами в цепи, когда напряжение на катушке перестаёт меняться? Как тогда должна меняться индуктивность?

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Без JavaScript модель не работает. Посчитай токи при напряжении 4,5 В на катушке: через R — 1,5 А, через батарею — 7,5 А, через катушку — 6 А.

Подсказка 1

Сразу после замыкания ток через катушку равен нулю, весь ток идёт через $R$ $\mathcal E_0=\dfrac{\mathcal ER}{R+r}=9$ В. Когда напряжение на катушке $\mathcal E_L=4{,}5$ В, ток через $R$ равен $\mathcal E_L/R$ ток батареи $(\mathcal E-\mathcal E_L)/r$ , а ток катушки — их разность.

Подсказка 2

Пока напряжение на катушке постоянно, токи через $R$ и через батарею постоянны — значит, и ток катушки $I$ постоянен. Поток $\Phi=LI$ и $\mathcal E_L=\dfrac{d(LI)}{dt}=I\dfrac{dL}{dt}$ .

Разобрать решение по шагам

ЭДС самоиндукции сразу после замыкания

Катушка и резистор $R$ включены параллельно, поэтому напряжение на катушке равно напряжению на $R$ Сразу после замыкания ключа ток через катушку ещё равен нулю (он не может измениться скачком). Весь ток идёт через $r$ и $R$

I_0=\frac{\mathcal E}{R+r}=3\ \text{А},\qquad \mathcal E_0=I_0R=\frac{\mathcal ER}{R+r}=9\ \text{В}.

Токи в момент, когда напряжение стало αℰ₀

Напряжение на катушке и на $R$ $\mathcal E_L=0{,}5\cdot 9=4{,}5$ В. Тогда

ток через $R$ $I_R=\dfrac{\mathcal E_L}R=1{,}5$ А;
ток батареи: $\mathcal E-I_{\text{б}}r=\mathcal E_L$ , $I_{\text{б}}=\dfrac{\mathcal E-\mathcal E_L}{r}=7{,}5$ А;
ток катушки: $I=I_{\text{б}}-I_R=6$ А.

В общем виде $I=(1-\alpha)\dfrac{\mathcal E}r$ .

Напряжение постоянно — ток катушки постоянен

Дальше индуктивность меняют так, что напряжение на катушке остаётся $\mathcal E_L$ Тогда не меняются ни ток через $R$ ни ток батареи (оба определяются этим напряжением), а значит, не меняется и ток катушки: $I=6$ А.

Магнитный поток катушки $\Phi=LI$ ЭДС самоиндукции при переменной индуктивности — это скорость изменения потока:

\mathcal E_L=\frac{d(LI)}{dt}=I\frac{dL}{dt}\quad(\text{так как }I=\text{const}),\qquad \frac{dL}{dt}=\frac{\mathcal E_L}{I}=\frac{4{,}5}{6}=0{,}75\ \text{Гн/с}.

Индуктивность растёт с постоянной скоростью.

Ответ

\Delta L=\frac{\mathcal E_L}{I}\,\Delta t=0{,}75\cdot 0{,}020=0{,}015\ \text{Гн}=15\ \text{мГн}.

Начальная индуктивность в ответ не вошла: она определяет только, когда напряжение упадёт до $\alpha\mathcal E_0$

Проверка

Общая формула:

\Delta L=\dfrac{\alpha}{1-\alpha}\cdot\dfrac{Rr}{R+r}\,\Delta t=1\cdot 0{,}75\cdot 0{,}02=0{,}015

Гн. В тесте цепь рассчитана численно по правилам Кирхгофа для двух разных начальных индуктивностей: ток катушки в момент начала изменения равен $6$ А в обоих случаях, и приращение $L$ за $20$ мс — $15$ мГн. Размерность: В $\cdot$ с / А = Гн.

Ответ

\Delta L=\dfrac{\mathcal E_L\,\Delta t}{I}=\dfrac{\alpha}{1-\alpha}\cdot\dfrac{Rr}{R+r}\,\Delta t=15

мГн.

Ответ

\Delta L=\dfrac{\mathcal E_L\,\Delta t}{I}=\dfrac{\alpha}{1-\alpha}\cdot\dfrac{Rr}{R+r}\,\Delta t=15

мГн.

Главная идея

ЭДС самоиндукции — это скорость изменения потока $LI$ Если напряжение на катушке в такой цепи держат постоянным, ток через неё тоже постоянен, и ЭДС равна $I\,dL/dt$

Катушка параллельно резистору: напряжение на ней = напряжение на резисторе, токи находятся из правил Кирхгофа. При переменной L пиши ℰ = d(LI)/dt.

Где легко ошибиться

Считать ЭДС самоиндукции равной $L\,\dfrac{dI}{dt}$ и при постоянном токе получить ноль. Или принять $\mathcal E_0=\mathcal E$ забыв о внутреннем сопротивлении и резисторе.

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · физика · 11 класс · 2025/26 · отборочный этап, первый тур (1 попытка). Задача 10, версия с ID 4691 — первая в официальном файле; другие числовые версии этого номера (ID 4692, 4693, 4694) можно выбрать в модели.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 25) ↗ · Сайт олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора, рисунок перерисован по нему. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение написано до знакомства с решением организатора; затем ответ совпадает с решением организатора, с уточнением («Решения Ф11 1 попытка 2025», стр. 3 ↗: E0 = ε·R/(R + r); I_R = αε/(R + r); I = (ε − αE0)/r; I_L = I − I_R; ΔL = αE0·τ/(I − I_R)). Формулы тождественны: I − I_R = ε(1 − α)/r, откуда αE0τ/(I − I_R) = (α/(1 − α))·Rr/(R + r)·τ. Различие обозначений: в нашей записи I — ток катушки, в официальной I — ток источника, а ток катушки — I_L = I − I_R.

Продолжить тему: Магнитное поле и индукция →

Тема, знания и приёмы

Магнитное поле и индукция · Начальный вход

Правила Кирхгофа
Самоиндукция: ток через катушку не меняется скачком
Магнитный поток Φ = LI

Приёмы решения: Узлы и эквивалентная цепь · Инвариант или монотонная величина

Задать вопрос по задаче →