Физтех 2025/26 · Физика · 11 кл., №4 — решение · Отборочный этап

Условие

Вертикальная шероховатая плоскость движется поступательно вдоль горизонтальной оси OX. Ускорение плоскости зависит от времени $t$ по закону $a = a_0 - \alpha t$ где $a_0 = 41$ м/с $^2$ $\alpha = 1$ м/с $^3$ Плоскость толкает перед собой массивный брусок. В момент времени $t = 0$ брусок покоится относительно плоскости, скорость движения плоскости и бруска пренебрежимо мала. Коэффициент трения скольжения бруска по плоскости равен $0{,}25$

Найдите модуль скорости бруска относительно плоскости в момент времени $2$ с. Ускорение свободного падения $10$ м/с $^2$ Ответ приведите в [см/с] и округлите до целого числа. Силу сопротивления воздуха, действующую на брусок, считайте пренебрежимо малой. Брусок безотрывно движется по плоскости.

О задаче · 11 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Отборочный этап, первый тур (1 попытка)
Предмет / класс: Физика · 11 класс
Сезон: 2025/26

Что удерживает брусок от падения? От чего зависит, насколько сильно плоскость прижимает брусок? В модели можно сравнить наибольшее трение с силой тяжести во времени.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеБрусок на стенке

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Брусок на стенке

Когда трения перестанет хватать, чтобы удержать брусок? Как растёт его скорость относительно стенки после этого?

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Без JavaScript модель не работает. Нарисуй прямую μa(t) = 10,25 − 0,25t и горизонталь g = 10: они пересекаются при t = 1 с; площадь между ними до t = 2 с — треугольник.

Подсказка 1

Плоскость разгоняет брусок по горизонтали, поэтому сила реакции $N=ma(t)$ Трение не больше $\mu N=\mu m a(t)$ Брусок держится, пока $\mu a(t)\ge g$ Найди, в какой момент это нарушится.

Подсказка 2

Дальше брусок скользит вниз; относительно плоскости его ускорение $g-\mu a(t)$ Оно растёт линейно от нуля, значит, скорость — площадь треугольника под этим графиком.

Разобрать решение по шагам

Принятые допущения

Из условия. Пока брусок не отрывается от стенки, она давит на него с силой $N=ma(t)$ Чтобы брусок покоился по вертикали, трение покоя должно уравновешивать его вес. Предел трения покоя требует отдельного допущения.
Допускаем. Предельное трение покоя считаем равным трению скольжения: брусок срывается, когда $\mu a(t)$ с тем же $\mu=0{,}25$ становится меньше $g$ В условии дан только коэффициент трения скольжения.
Как это влияет на ответ. Ответ к этому очень чувствителен: если коэффициент трения покоя хотя бы $0{,}26$ брусок до момента $2$ с не сдвинется и скорость будет нулевой. В принятой модели скорость ровно $12{,}5$ см/с — на границе округления; по обычному правилу (половину вверх) это $13$ см/с, как в официальном решении.

Силы, действующие на брусок

Обозначим $\mu=0{,}25$ По горизонтали брусок движется вместе с плоскостью (не отрывается), поэтому его горизонтальное ускорение $a(t)$ и сила реакции плоскости

N=m\,a(t)=m(a_0-\alpha t).

По вертикали на брусок действуют сила тяжести $mg$ вниз и сила трения вверх. Трение не может быть больше $\mu N=\mu m a(t)$

Сколько брусок держится

Брусок неподвижен относительно плоскости, пока трения покоя хватает:

\mu m a(t)\ge mg\quad\Leftrightarrow\quad a(t)\ge\frac g\mu=40\ \text{м/с}^2.

Ускорение плоскости убывает от $41$ м/с $^2$ и доходит до $40$ м/с $^2$ в момент

t_s=\frac{a_0-g/\mu}{\alpha}=\frac{41-40}{1}=1\ \text{с}.

Скольжение вниз

После $t_s$ брусок скользит вниз, трение скольжения равно $\mu m a(t)$ Плоскость по вертикали не движется, поэтому скорость бруска относительно плоскости — это просто его вертикальная скорость. Её производная

a_{\text{отн}}=g-\mu(a_0-\alpha t)=\mu\alpha\,(t-t_s).

Последнее равенство верно, потому что $g=\mu(a_0-\alpha t_s)$ Ускорение растёт от нуля линейно.

Скорость как площадь

Скорость — площадь под графиком $a_{\text{отн}}(t)$ от $t_s$ до $t$ то есть треугольник:

v=\frac12\,(t-t_s)\cdot\mu\alpha(t-t_s)=\frac{\mu\alpha\,(t-t_s)^2}{2}=\frac{0{,}25\cdot 1\cdot 1^2}{2}=0{,}125\ \text{м/с}=12{,}5\ \text{см/с}.

Число получилось ровно посередине между 12 и 13. По обычному школьному правилу (половину округляем вверх) ответ $13$ см/с.

Проверка

Численное интегрирование $\dot v=g-\mu a(t)$ после начала скольжения в тесте даёт $0{,}1250$ м/с. В момент $t=2$ с плоскость ещё толкает брусок: $a=39$ м/с $^2>0$ (контакт сохраняется до $a_0/\alpha=41$ с; для своих значений модель отказывается считать ответ, если $t$ больше этого момента). Официальные указания дают $V=(g-\mu a_0)(\tau-t_0)+\dfrac{\mu\alpha}{2}(\tau^2-t_0^2)$ при $t_0=\dfrac{a_0-g/\mu}{\alpha}$ — после подстановки $g=\mu(a_0-\alpha t_0)$ это та же $\dfrac{\mu\alpha(\tau-t_0)^2}{2}$ . Размерность: $\mu\alpha t^2$ — м/с $^3\cdot$ с $^2$ = м/с.

Ответ

$v=\dfrac{\mu\alpha\,(t-t_s)^2}{2}=12{,}5$ см/с; с округлением до целого — $13$ см/с.

Ответ

$v=\dfrac{\mu\alpha\,(t-t_s)^2}{2}=12{,}5$ см/с; с округлением до целого — $13$ см/с.

Главная идея

Сила прижатия к ускоряющейся стенке равна $ma$ поэтому предельное трение меняется вместе с ускорением. Пока $\mu a\ge g$ брусок держится; после — его ускорение растёт линейно, и скорость находится как площадь треугольника.

Если тело прижато к ускоряющейся опоре, сила реакции = масса × ускорение опоры. Найди момент, когда трения покоя перестаёт хватать, и интегрируй дальше.

Где легко ошибиться

Считать, что брусок скользит с самого начала, и интегрировать от $t=0$ получится отрицательное «ускорение» на первом участке. Или взять $N=mg$ как на горизонтальном столе.

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · физика · 11 класс · 2025/26 · отборочный этап, первый тур (1 попытка). Задача 4, версия с ID 4667 — первая в официальном файле; другие числовые версии этого номера (ID 4668, 4669, 4670) можно выбрать в модели.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 9) ↗ · Сайт олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение написано до знакомства с решением организатора; затем ответ совпадает с решением организатора («Решения Ф11 1 попытка 2025», стр. 1 ↗: V = (g − μa₀)(τ − t₀) + μα(τ² − t₀²)/2, t₀ = (a₀ − g/μ)/α; для ID 4667 это 12,5 см/с → 13). Совпадает (тождественно равно μα(τ − t₀)²/2). Официальные указания не оговаривают условие a(τ) > 0, при котором формула действует.

Тема, знания и приёмы

Силы и ускорение · Начальный вход

Второй закон Ньютона
Трение покоя и скольжения
Скорость как площадь под графиком ускорения

Приёмы решения: Уравнение сил · Чтение графика и сопоставление состояний

Задать вопрос по задаче →