Физтех 2025/26 · Физика · 11 кл., №8 — решение · Отборочный этап

Условие

Схема электрической цепи представлена на рисунке. Ёмкости конденсаторов одинаковы. Заряд каждого конденсатора $3$ мкКл. В один конденсатор параллельно обкладкам помещают незаряженную металлическую пластинку так, как показано на рисунке. Толщина пластинки меньше расстояния между обкладками в $2$ раза.

Найдите модуль заряда, индуцированного на гранях металлической пластинки, параллельных обкладкам. Геометрические размеры этих граней и обкладок одинаковы. Ответ приведите в [мкКл] с точностью до целых.

Рисунок к условию

О задаче · 11 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Отборочный этап, первый тур (1 попытка)
Предмет / класс: Физика · 11 класс
Сезон: 2025/26

Как соединены конденсаторы? Что меняет металлическая пластинка в одном из них — ёмкость, заряд или напряжение? В модели видно, как после вставки пластинки по резистору течёт ток.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеПеретекание заряда

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Перетекание заряда

Почему после вставки пластинки по резистору течёт ток? Когда он прекратится и как разделится заряд?

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Без JavaScript модель не работает. Сравни напряжения сразу после вставки: q/2C у левого и q/C у правого — они не равны, значит, заряд перетечёт.

Подсказка 1

Верхние обкладки соединены между собой через резистор, нижние — проводом: конденсаторы соединены параллельно. Цепь замкнута сама на себя, поэтому общий заряд верхних обкладок $2q$ не меняется. Пластинка толщиной $d/2$ превращает зазор $d$ в два зазора общей толщиной $d/2$ ёмкость становится $2C$

Подсказка 2

Ток через резистор течёт, пока напряжения на конденсаторах не сравняются: $\dfrac{q_1}{2C}=\dfrac{q_2}{C}$ , $q_1+q_2=2q$ На грани пластинки, обращённой к обкладке с зарядом $+q_1$ индуцируется $-q_1$ (поле внутри металла равно нулю).

Разобрать решение по шагам

Схема: параллельное соединение

Верхние (положительные) обкладки соединены через резистор, нижние (отрицательные) — проводом. Значит, после установления равновесия напряжения на конденсаторах равны: это параллельное соединение. Сначала каждый заряжен зарядом $q=3$ мкКл, и общий заряд верхних обкладок $2q=6$ мкКл. Цепь ни к чему больше не подключена, поэтому этот заряд сохраняется.

Ёмкость с пластинкой

Внутри металла поля нет, поэтому пластинка толщиной $d/k$ ( $k=2$ ) как будто вырезает часть зазора. Остаются два зазора общей толщиной $d-\dfrac dk$ и ёмкость левого конденсатора

C_1=\frac{\varepsilon_0S}{d-d/k}=C\cdot\frac{k}{k-1}=2C.

Где именно в зазоре стоит пластинка, неважно.

Как поделится заряд

Сразу после вставки заряды прежние, а напряжение левого конденсатора стало меньше ( $q/2C$ против $q/C$ ). Через резистор течёт ток, пока напряжения не сравняются:

\frac{q_1}{C_1}=\frac{q_2}{C},\qquad q_1+q_2=2q.

Отсюда

q_1=2q\cdot\frac{C_1}{C_1+C}=2q\cdot\frac{2}{3}=4\ \text{мкКл},\qquad q_2=2\ \text{мкКл}.

Индуцированный заряд

Поле внутри пластинки равно нулю. Поле в зазоре между верхней обкладкой и пластинкой создаётся зарядом $+q_1$ обкладки, и чтобы внутри металла поле обнулилось, на верхней грани пластинки должен оказаться заряд $-q_1$ на нижней — $+q_1$ (пластинка в целом нейтральна). Модуль индуцированного заряда

|q_{\text{инд}}|=q_1=4\ \text{мкКл}.

Проверка

Общая формула $q_{\text{инд}}=\dfrac{2qk}{2k-1}$ . Проверка крайних случаев: при очень тонкой пластинке ( $k\to\infty$ ) получаем $q$ — заряды не перераспределились; при пластинке почти во весь зазор ( $k\to1$ ) получаем $2q$ — весь заряд перешёл в конденсатор с огромной ёмкостью. Наш ответ $4$ мкКл лежит между $3$ и $6$

Ответ

$|q_{\text{инд}}|=\dfrac{2qk}{2k-1}=4$ мкКл.

Ответ

$|q_{\text{инд}}|=\dfrac{2qk}{2k-1}=4$ мкКл.

Главная идея

Металлическая пластинка в зазоре уменьшает «эффективный» зазор и увеличивает ёмкость. В замкнутой цепи параллельных конденсаторов заряд перераспределяется, пока напряжения не сравняются; индуцированный заряд на гранях пластинки равен заряду обкладки.

Если в замкнутой цепи конденсаторов без источника меняют ёмкость одного, сохраняется заряд, а не напряжение: составь уравнения «заряд сохраняется» и «напряжения равны».

Где легко ошибиться

Считать, что заряд левого конденсатора остался $3$ мкКл: цепь замкнута через резистор, и заряд перетекает. Или решить, что напряжение сохраняется, как при подключённом источнике.

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · физика · 11 класс · 2025/26 · отборочный этап, первый тур (1 попытка). Задача 8, версия с ID 4683 — первая в официальном файле; другие числовые версии этого номера (ID 4684, 4685, 4686) можно выбрать в модели.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 17) ↗ · Сайт олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора, рисунок перерисован по нему. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение написано до знакомства с решением организатора; затем ответ совпадает с решением организатора («Решения Ф11 1 попытка 2025», стр. 2 ↗: |q′| = 2qn/(2n − 1) (q — заряд конденсаторов до внесения пластинки, n — отношение расстояния между обкладками к толщине пластинки)).

Продолжить тему: Электростатика →

Тема, знания и приёмы

Электростатика · Нужна школьная база

Ёмкость плоского конденсатора
Параллельное соединение конденсаторов
Проводник в электрическом поле

Приёмы решения: Инвариант или монотонная величина · Оценка и достижимость

Задать вопрос по задаче →