Физтех 2025/26 · Физика · 11 кл., №6 — решение · Отборочный этап

Условие

Идеальный одноатомный газ в количестве $4$ моль расширяется в процессе, в котором зависимость объёма от температуры $V = \alpha T^n$ где $\alpha$ — постоянная [м $^3$ /К $^n$ ] (значение $\alpha$ не задано), $T$ — температура [К], $n = 3$ Начальная температура газа равна $200$ К.

Найдите работу газа к тому моменту, когда давление газа уменьшится в $4$ раза по сравнению с начальным. Универсальная газовая постоянная $R = 8{,}31$ Дж/(моль $\cdot$ К). Ответ приведите в [кДж] и округлите до десятых.

О задаче · 11 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Отборочный этап, первый тур (1 попытка)
Предмет / класс: Физика · 11 класс
Сезон: 2025/26

Как давление зависит от температуры в этом процессе? Это подскажет конечную температуру. А для работы попробуй выразить $p\,dV$ через $dT$ В модели можно провести газ по кривой и посмотреть на площадь.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеПроцесс на диаграмме p–V

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Процесс на диаграмме p–V

Как связаны рост температуры и падение давления в этом процессе? Как работа зависит от изменения температуры?

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Без JavaScript модель не работает. Подставь V = αT³ в pV = νRT: p пропорционально 1/T², поэтому падение давления в 4 раза — это рост температуры в 2 раза.

Подсказка 1

Из $pV=\nu RT$ и $V=\alpha T^n$ $p=\dfrac{\nu R}{\alpha}T^{1-n}$ . При $n=3$ давление обратно пропорционально $T^2$ если давление упало в 4 раза, температура выросла в 2 раза.

Подсказка 2

$dV=n\alpha T^{n-1}dT$ поэтому $p\,dV=\dfrac{\nu RT}{\alpha T^n}\cdot n\alpha T^{n-1}dT=n\nu R\,dT$ . Работа $A=n\nu R\,\Delta T$

Разобрать решение по шагам

Как меняется давление

Обозначим $\nu=4$ моль, $T_0=200$ К. Из уравнения состояния $pV=\nu RT$ и закона процесса $V=\alpha T^n$

p=\frac{\nu RT}{\alpha T^n}=\frac{\nu R}{\alpha}\,T^{1-n}=\frac{\nu R}{\alpha}\cdot\frac1{T^2}\quad(n=3).

Газ нагревается и расширяется, а давление падает.

Конечная температура

Давление уменьшилось в $4$ раза, значит, $T^2$ выросло в $4$ раза, а $T$ — в $2$ раза:

T_1=T_0\cdot 4^{1/(n-1)}=200\cdot 2=400\ \text{К}.

Работа через изменение температуры

Работа газа $A=\int p\,dV$ Из $V=\alpha T^n$ $dV=n\alpha T^{n-1}\,dT$ Тогда

p\,dV=\frac{\nu RT}{\alpha T^n}\cdot n\alpha T^{n-1}\,dT=n\nu R\,dT,\qquad A=n\nu R\,(T_1-T_0).

Удобная запись того же: $\dfrac{dV}{V}=n\,\dfrac{dT}{T}$ , а $p\,dV=\nu RT\cdot\dfrac{dV}{V}$ .

Ответ

A=3\cdot 4\cdot 8{,}31\cdot(400-200)=19\,944\ \text{Дж}\approx 19{,}9\ \text{кДж}.

Проверка

Проверка другим способом: процесс политропный, $pV^{m}=\text{const}$ с $m=\dfrac{n-1}{n}=\dfrac23$ (так как $p\propto T^{-2}$ $V\propto T^3$ ). Для политропы $A=\dfrac{\nu R\,\Delta T}{1-m}=3\nu R\,\Delta T$ — то же самое. Численное интегрирование $\int p\,dV$ в тесте совпадает с формулой до $10^{-6}$ Ответ положителен: газ расширяется.

Ответ

$A=n\nu R\,T_0\left(k^{1/(n-1)}-1\right)=19\,944$ Дж $\approx 19{,}9$ кДж.

Ответ

$A=n\nu R\,T_0\left(k^{1/(n-1)}-1\right)=19\,944$ Дж $\approx 19{,}9$ кДж.

Главная идея

В процессе $V=\alpha T^n$ работа пропорциональна изменению температуры: $A=n\nu R\,\Delta T$ Неизвестная постоянная $\alpha$ сокращается.

Если процесс задан связью V(T) или p(T) с неизвестной постоянной, вырази p·dV через dT — постоянная сократится.

Где легко ошибиться

Взять работу как при изобарном процессе, $\nu R\Delta T$ забыв множитель $n$ Или решить, что температура выросла в $4$ раза, как давление упало.

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · физика · 11 класс · 2025/26 · отборочный этап, первый тур (1 попытка). Задача 6, версия с ID 4675 — первая в официальном файле; другие числовые версии этого номера (ID 4676, 4677, 4678) можно выбрать в модели.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 14) ↗ · Сайт олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение написано до знакомства с решением организатора; затем ответ совпадает с решением организатора («Решения Ф11 1 попытка 2025», стр. 2 ↗: C = C_V + nR; A = ν·T1·n·R·((P1/P2)^(1/(n−1)) − 1)).

Продолжить тему: Газы и термодинамика →

Тема, знания и приёмы

Газы и термодинамика · Нужна школьная база

Уравнение Клапейрона–Менделеева
Работа газа как площадь под графиком p(V)
Производная степенной функции

Приёмы решения: Удачная подстановка или замена · Чтение графика и сопоставление состояний

Задать вопрос по задаче →