Физтех 2025/26 · Физика · 11 кл., №3 — решение · Отборочный этап

Условие

Однородный массивный обруч радиуса $0{,}5$ м катится без проскальзывания по горизонтальной шероховатой плоскости и абсолютно упруго сталкивается с вертикальной гладкой стенкой. Скорость центра масс обруча перед столкновением со стенкой равна $V_0 = 1$ м/с. Угол между радиусом, проведённым в точку А из центра обруча, и горизонтом равен $\alpha = 50^\circ$ Коэффициент трения скольжения обруча по горизонтальной шероховатой плоскости равен $0{,}1$ Ускорение свободного падения $10$ м/с $^2$

Найдите модуль ускорения точки А в лабораторной системе отсчёта сразу после столкновения обруча со стенкой. Обруч движется в вертикальной плоскости, перпендикулярной стенке. За время соударения модуль скорости центра масс обруча и угловая скорость вращения обруча в системе центра масс не изменяются. Ответ приведите в [см/с $^2$ ] и округлите до целого числа.

Рисунок к условию

О задаче · 11 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Отборочный этап, первый тур (1 попытка)
Предмет / класс: Физика · 11 класс
Сезон: 2025/26

Что изменилось сразу после удара: скорость центра или вращение? Катится ли обруч теперь без проскальзывания? В модели можно сравнить ускорения точки A до и после удара.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеУскорение точки обруча

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Ускорение точки обруча

Что меняется в ускорении точки A при ударе о стенку? Какие стрелки появляются и почему?

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Без JavaScript модель не работает. После удара: ускорение центра 1 м/с² к стенке, касательное 1 м/с² перпендикулярно OA, центростремительное 2 м/с² к центру — сложи их по осям.

Подсказка 1

После удара центр движется от стенки со скоростью $V_0$ а вращение прежнее, $\omega=V_0/R$ Нижняя точка теперь скользит от стенки со скоростью $2V_0$ поэтому на обруч действует трение скольжения $\mu mg$ направленное к стенке.

Подсказка 2

Трение даёт центру ускорение $\mu g$ к стенке и угловое ускорение $\varepsilon=\dfrac{\mu mgR}{mR^2}=\dfrac{\mu g}{R}$ , замедляющее вращение. Ускорение точки A — сумма трёх векторов: ускорения центра, касательного $\varepsilon R$ (перпендикулярно OA) и центростремительного $\omega^2R=\dfrac{V_0^2}{R}$ (к центру).

Разобрать решение по шагам

Движение сразу после удара

Обозначим $R=0{,}5$ м, $\mu=0{,}1$ До удара обруч катится к стенке без проскальзывания, значит, вращается с угловой скоростью $\omega=\dfrac{V_0}{R}=2$ рад/с (по часовой стрелке на рисунке).

Стенка гладкая, удар упругий: скорость центра сменила направление (теперь $V_0$ от стенки), а вращение осталось прежним. Нижняя точка обруча до удара покоилась; теперь её скорость равна скорости центра плюс скорость вращения, обе направлены от стенки: $2V_0$ Обруч проскальзывает по полу.

Сила трения и что она меняет

Нижняя точка скользит от стенки, значит, трение скольжения направлено к стенке. По вертикали ускорения нет, $N=mg$ трение $\mu mg$

Ускорение центра: $a_c=\mu g=1$ м/с $^2$ к стенке.

Момент силы трения относительно центра $\mu mg\,R$ момент инерции обруча $mR^2$ угловое ускорение

\varepsilon=\frac{\mu mgR}{mR^2}=\frac{\mu g}{R}=2\ \text{рад/с}^2,

оно направлено против вращения (вращение начинает замедляться).

Три слагаемых ускорения точки A

Ускорение точки обода = ускорение центра + касательное + центростремительное. Введём оси: $x$ — к стенке, $y$ — вверх. Точка A: $\vec r=R(\cos\alpha,\ \sin\alpha)$ от центра.

Центр: $\vec a_c=(\mu g,\ 0)=(1;\ 0)$ .
Касательное: $\varepsilon R=\mu g=1$ м/с $^2$ перпендикулярно OA, в сторону углового ускорения (против часовой стрелки): $\mu g(-\sin\alpha,\ \cos\alpha)$ .
Центростремительное: $\omega^2R=\dfrac{V_0^2}{R}=2$ м/с $^2$ к центру: $-\dfrac{V_0^2}{R}(\cos\alpha,\ \sin\alpha)$ .

Сразу после удара угловая скорость ещё прежняя, поэтому центростремительная часть та же, что и до удара.

Сумма и ответ

При $\alpha=50^\circ$ $\cos\alpha\approx 0{,}6428$ , $\sin\alpha\approx 0{,}7660$ .

a_x=1-1\cdot 0{,}7660-2\cdot 0{,}6428\approx -1{,}0516\ \text{м/с}^2,

a_y=1\cdot 0{,}6428-2\cdot 0{,}7660\approx -0{,}8893\ \text{м/с}^2,

a_A=\sqrt{a_x^2+a_y^2}\approx\sqrt{1{,}1059+0{,}7909}\approx 1{,}377\ \text{м/с}^2\approx 138\ \text{см/с}^2.

Проверка

Независимая проверка в тесте: записываем скорость точки A как функцию времени сразу после удара (центр: $-V_0+\mu g t$ угол поворота с угловым ускорением $\mu g/R$ ) и дифференцируем численно — получается тот же модуль $1{,}377$ м/с $^2$ До удара ускорение точки A было бы только центростремительным, $2$ м/с $^2$ трение заметно меняет ответ.

Ответ

a_A=\sqrt{\left(\mu g-\mu g\sin\alpha-\dfrac{V_0^2}{R}\cos\alpha\right)^2+\left(\mu g\cos\alpha-\dfrac{V_0^2}{R}\sin\alpha\right)^2}\approx 138

см/с $^2$

Ответ

a_A=\sqrt{\left(\mu g-\mu g\sin\alpha-\dfrac{V_0^2}{R}\cos\alpha\right)^2+\left(\mu g\cos\alpha-\dfrac{V_0^2}{R}\sin\alpha\right)^2}\approx 138

см/с $^2$

Главная идея

Ускорение точки катящегося тела складывается из ускорения центра, касательного $\varepsilon R$ и центростремительного $\omega^2R$ После удара о гладкую стенку вращение сохраняется, а качение превращается в скольжение — появляется трение, которое даёт и $a_c$ и $\varepsilon$

Если тело с вращением резко меняет скорость центра, проверь, скользит ли точка касания: направление трения скольжения определяет и ускорение центра, и угловое ускорение.

Где легко ошибиться

Забыть касательное ускорение или ускорение центра и ответить $V_0^2/R=200$ см/с $^2$ как при качении без проскальзывания. Ещё ошибка — направить трение от стенки (по направлению скорости центра).

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · физика · 11 класс · 2025/26 · отборочный этап, первый тур (1 попытка). Задача 3, версия с ID 4663 — первая в официальном файле; другие числовые версии этого номера (ID 4664, 4665, 4666) можно выбрать в модели.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 5) ↗ · Сайт олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора, рисунок перерисован по нему. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение написано до знакомства с решением организатора; затем ответ совпадает с решением организатора, с уточнением («Решения Ф11 1 попытка 2025», стр. 1 ↗: a_n = V0²/R; μmg·|Δl|/Δt = mV·|ΔV|/Δt ⇒ a_τ = |ΔV|/Δt = μg; a⃗_A = a⃗_n + a⃗_τ + a⃗, |a⃗| = μg; a_A = √((μg(1 − sin α) − (V0²/R)·cos α)² + (μg·cos α − (V0²/R)·sin α)²)). Формула буквально совпадает с нашей. Рисунок в официальных указаниях подтверждает наше прочтение положения точки A (со стороны стенки, выше центра, радиус под углом α к горизонтали; V0 после удара направлена от стенки, a⃗ — к стенке) и модель обруча с вращательной энергией mV²/2 (I = mR²).

Продолжить тему: Силы и ускорение →

Тема, знания и приёмы

Силы и ускорение · Продвинутая подготовка

Сложение движений: поступательное + вращение
Момент силы, момент инерции обруча
Касательное и центростремительное ускорения

Приёмы решения: Относительное движение · Координаты и проекции

Задать вопрос по задаче →