Физтех 2025/26 · Физика · 10 кл., №9 — решение · Отборочный этап

Условие

Идеальный газ расширяется в изотермическом процессе. В этом процессе к газу подводят $Q = 8$ кДж теплоты. Далее в изохорном процессе к газу подводят теплоту. В этом процессе среднеквадратичная скорость молекул увеличивается на $\alpha = 30\ \%$ После этого газ сжимают в изотермическом процессе до первоначального объема.

Найдите работу внешней силы в процессе сжатия газа. Ответ приведите в [кДж] с округлением до десятых.

О задаче · 10 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Отборочный этап, первый тур (1 попытка)
Предмет / класс: Физика · 10 класс
Сезон: 2025/26

Куда идёт теплота при изотермическом расширении? Как среднеквадратичная скорость связана с температурой? Сравни две изотермы, которые проходят между одними и теми же объёмами. В модели можно менять неизвестное отношение объёмов.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеПлощади под изотермами

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Площади под изотермами

Сравни площади под двумя изотермами. Зависит ли их отношение от того, во сколько раз расширился газ?

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Без JavaScript модель не работает. Нарисуй две гиперболы p = 1/V и p = 1,69/V и сравни площади под ними от V = 1 до V = 2.

Подсказка 1

При изотермическом процессе внутренняя энергия идеального газа не меняется, и вся теплота идёт на работу: $A_1=Q$ Среднеквадратичная скорость $\propto\sqrt T$ поэтому рост скорости в $1{,}3$ раза — это рост температуры в $1{,}3^2=1{,}69$ раза.

Подсказка 2

Изотермы при $T_1$ и $T_2$ проходят между одними и теми же объёмами $V_1$ и $V_2$ При каждом объёме $p\propto T$ поэтому площадь под горячей изотермой в $\dfrac{T_2}{T_1}$ раз больше.

Разобрать решение по шагам

Изотермическое расширение

Внутренняя энергия идеального газа зависит только от температуры. При $T=\text{const}$ она не меняется, и по первому закону термодинамики вся теплота идёт на работу газа:

A_{12}=Q=8\ \text{кДж}.

Эта работа — площадь под изотермой $T_1$ от $V_1$ до $V_2$

Изохорный нагрев

Среднеквадратичная скорость молекул $v_{\text{кв}}=\sqrt{\dfrac{3kT}{m_0}}\propto\sqrt T$ . Она выросла на $30\ \%$ то есть в $1{,}3$ раза, значит температура выросла в

\frac{T_2}{T_1}=1{,}3^2=1{,}69\ \text{раза}.

Объём при этом не менялся — газ по-прежнему занимает $V_2$

Изотермическое сжатие

Теперь газ сжимают при $T_2$ от $V_2$ до $V_1$ При каждом объёме давление на горячей изотерме в $\dfrac{T_2}{T_1}$ раз больше, чем на холодной ( $p=\dfrac{\nu RT}{V}$ ). Значит, и площадь под ней — работа внешней силы — в столько же раз больше:

A_{\text{внеш}}=\frac{T_2}{T_1}\,Q=1{,}69\cdot 8=13{,}52\ \text{кДж}\approx 13{,}5\ \text{кДж}.

Проверка

Формулой: $A_{12}=\nu RT_1\ln\dfrac{V_2}{V_1}=Q$ , $A_{\text{внеш}}=\nu RT_2\ln\dfrac{V_2}{V_1}$ . Отношение $\dfrac{T_2}{T_1}$ логарифм сокращается — отношение объёмов знать не нужно, это видно и в модели. Работа сжатия больше $Q$ потому что сжимают более горячий газ.

Ответ

$A=Q(1+\alpha)^2\approx 13{,}5$ кДж.

Ответ

$A=Q(1+\alpha)^2\approx 13{,}5$ кДж.

Главная идея

При изотермическом процессе теплота равна работе. Две изотермы между одними и теми же объёмами отличаются по давлению в $T_2/T_1$ раз — и работы тоже.

Сравниваешь работы в двух изотермических процессах с одинаковыми объёмами — отношение работ равно отношению температур.

Где легко ошибиться

Принять рост скорости на $30\ \%$ за рост температуры на $30\ \%$ (ответ $10{,}4$ кДж). Температура пропорциональна квадрату среднеквадратичной скорости.

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · физика · 10 класс · 2025/26 · отборочный этап, первый тур (1 попытка). Задача 9, версия с ID 4647 — первая в официальном файле; другие числовые версии этого номера (ID 4648, 4649, 4650) можно выбрать в модели.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 12) ↗ · Сайт олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение написано до знакомства с решением организатора; затем ответ совпадает с решением организатора («Решения Ф10 1 попытка 2025», стр. 3 ↗: P2/P1 = T2/T1 = (1 + α%/100%)² ⇒ A = (1 + α%/100%)²·Q).

Продолжить тему: Газы и термодинамика →

Тема, знания и приёмы

Газы и термодинамика · Нужна школьная база

Первый закон термодинамики
Изопроцессы
Среднеквадратичная скорость молекул

Приёмы решения: Первый закон для цикла

Задать вопрос по задаче →