Физика · 10 класс · Физтех 2025/26 · первый тур

Задача 7. Две шайбы теряют поровну

Условие

Шайба налетает на покоящуюся шайбу массой M=60M = 60 г. Происходит абсолютно упругий центральный удар. Кинетическая энергия налетающей шайбы уменьшается на P=75 %P = 75\ \%. Опыт повторяют: на ту же покоящуюся шайбу налетает с той же начальной скоростью шайба другой массы. Происходит абсолютно упругий центральный удар. Кинетическая энергия налетающей шайбы опять уменьшается на P=75 %P = 75\ \%.

Найдите массу той шайбы из трех представленных в условии, у которой масса наибольшая. Ответ приведите в [г]. В ответе укажите целое число.

О задаче · 10 класс
Олимпиада
Физтех (МФТИ)
Этап
Отборочный этап, первый тур (1 попытка)
Предмет / класс
Физика · 10 класс
Сезон
2025/26

Найди скорость налетающей шайбы после упругого удара через массы. Какая доля энергии у неё остаётся? Подумай, почему одну и ту же долю могут терять шайбы разной массы. В модели можно подбирать массу и смотреть на график потерь.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеПодобрать массу

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Подобрать массу

Какой должна быть масса налетающей шайбы, чтобы она теряла P процентов энергии? Сколько таких масс?

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Без JavaScript модель не работает. Посчитай ((m − 60)/(m + 60))² для m = 20, 60, 180 г.

Подсказка 1

После упругого центрального удара о покоящуюся шайбу скорость налетающей u=m−Mm+Mvu=\dfrac{m-M}{m+M}v. Доля оставшейся энергии (m−Mm+M)2=1−P=0,25\left(\dfrac{m-M}{m+M}\right)^2=1-P=0{,}25.

Подсказка 2

Значит, m−Mm+M=±12\dfrac{m-M}{m+M}=\pm\dfrac12. Плюс — налетающая тяжелее и катится дальше вперёд, минус — легче и отскакивает. Получаются две массы, их произведение равно M2M^2.

Разобрать решение по шагам
1

Скорость налетающей шайбы после удара

Законы сохранения импульса и энергии для упругого центрального удара о покоящуюся шайбу:

mv=mu+Mw,mv22=mu22+Mw22.mv=mu+Mw,\qquad \frac{mv^2}{2}=\frac{mu^2}{2}+\frac{Mw^2}{2}.

Их решение (кроме тривиального u=vu=v): u=m−Mm+M vu=\dfrac{m-M}{m+M}\,v, w=2mm+M vw=\dfrac{2m}{m+M}\,v.

2

Доля оставшейся энергии

У налетающей шайбы остаётся доля энергии

u2v2=(m−Mm+M)2=1−P=0,25⇒m−Mm+M=±12.\frac{u^2}{v^2}=\left(\frac{m-M}{m+M}\right)^2=1-P=0{,}25\quad\Rightarrow\quad\frac{m-M}{m+M}=\pm\frac12.
3

Две массы

Знак «плюс»: 2(m−M)=m+M2(m-M)=m+M, m=3M=180m=3M=180 г — тяжёлая шайба после удара продолжает двигаться вперёд.

Знак «минус»: 2(m−M)=−(m+M)2(m-M)=-(m+M), m=M3=20m=\dfrac{M}{3}=20 г — лёгкая шайба отскакивает назад.

В условии три шайбы: 6060 г (покоящаяся), 180180 г и 2020 г. Наибольшая масса — 180180 г.

Проверка

Проверим m=180m=180 г: u=120240v=v2u=\dfrac{120}{240}v=\dfrac v2, энергия уменьшилась в 44 раза — на 75 %75\ \%. Для m=20m=20 г: u=−4080v=−v2u=-\dfrac{40}{80}v=-\dfrac v2 — тоже четверть энергии. Произведение масс 180⋅20=3600=602180\cdot 20=3600=60^2: доля потерь 4mM(m+M)2\dfrac{4mM}{(m+M)^2} не меняется при замене m→M2/mm\to M^2/m.

Ответ

m=3M=180m=3M=180 г.

Ответ

m=3M=180m=3M=180 г.

Главная идея

При упругом ударе о покоящееся тело налетающее теряет долю энергии 4mM(m+M)2\dfrac{4mM}{(m+M)^2}. Она одинакова для масс mm и M2/mM^2/m — тяжёлое тело катится дальше, лёгкое отскакивает.

Упругий центральный удар о покоящееся тело — сразу используй готовые формулы скоростей; уравнение на долю энергии даёт два корня.

Где легко ошибиться

Найти только одну массу (обычно 2020 г, «отскок») и ответить 6060 г как наибольшую. Или считать, что энергия уменьшилась до 75 %75\ \%, а не на 75 %75\ \%.

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · физика · 10 класс · 2025/26 · отборочный этап, первый тур (1 попытка). Задача 7, версия с ID 4639 — первая в официальном файле; другие числовые версии этого номера (ID 4640, 4641, 4642) можно выбрать в модели.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 9) ↗ · Сайт олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение написано до знакомства с решением организатора; затем ответ совпадает с решением организатора («Решения Ф10 1 попытка 2025», стр. 2 ↗: mv = mv1x + Mv2, mv²/2 = mv1x²/2 + Mv2²/2 ⇒ v2 = 2mv/(m + M); p = P%/100% = (M/m)(v2/v)² = 4mM/(m + M)²; x + 1/x + 2 = 4/p, x = m/M; m = M·(2/p − 1 + √((2/p − 1)² − 1))).

Продолжить тему: Энергия и импульс →
Тема, знания и приёмы

Энергия и импульс · Нужна школьная база

  • Законы сохранения импульса и энергии
  • Упругий центральный удар

Приёмы решения: Закон сохранения импульса · Закон сохранения энергии · Разбор случаев

Задать вопрос по задаче →
Увеличенный рисунок