Физтех 2025/26 · Физика · 10 кл., №3 — решение · Отборочный этап

Условие

На тренировке футболист направляет мяч к вертикальной стенке. После абсолютно упругого столкновения со стенкой на высоте $h = 6{,}4$ м мяч пролетает над точкой старта на той же высоте $h$ Ускорение свободного падения $g = 10$ м/с $^2$ Силу сопротивления воздуха считайте пренебрежимо малой.

Найдите продолжительность $T$ полета мяча от старта до падения на горизонтальную площадку. Ответ приведите в [с] с округлением до десятых.

О задаче · 10 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Отборочный этап, первый тур (1 попытка)
Предмет / класс: Физика · 10 класс
Сезон: 2025/26

Что делает упругий удар о гладкую вертикальную стенку со скоростью мяча? Попробуй «отразить» вторую часть полёта в зеркале стены. Ни скорость, ни расстояние до стены не даны — может быть, они и не нужны. В модели можно подобрать бросок и посмотреть, какое получится время полёта.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеБросок в стенку

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Бросок в стенку

Подбери бросок, при котором мяч бьётся о стену и пролетает над стартом на одной и той же высоте h. Зависит ли время полёта от расстояния до стены?

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Без JavaScript модель не работает. Нарисуй параболу и отметь на ней точки в моменты t₁ и 2t₁ на одной высоте; где тогда вершина и когда мяч упадёт?

Подсказка 1

При упругом ударе о вертикальную стенку меняется только знак горизонтальной скорости. Если отразить вторую часть траектории в стене, получится одна парабола. Горизонтальная скорость постоянна, поэтому до стены мяч летит время $t_1$ а до места над точкой старта — ещё $t_1$ всего $2t_1$

Подсказка 2

Высота одна и та же в моменты $t_1$ и $2t_1$ значит, вершина параболы — посередине, в момент $1{,}5t_1$ и мяч упадёт в момент $3t_1$ Из $v_y=g\cdot 1{,}5t_1$ найди высоту в момент $t_1$ и вырази $t_1$ через $h$

Разобрать решение по шагам

Отражаем стену

При абсолютно упругом ударе о неподвижную вертикальную стенку вертикальная составляющая скорости не меняется, а горизонтальная меняет знак, сохраняя величину. Отразим часть траектории после удара в плоскости стены: получится обычная парабола, как будто стены нет.

Горизонтальная скорость $v_x$ постоянна по модулю. Если до стены расстояние $D$ мяч летит до неё время $t_1=D/v_x$ а обратно до места над точкой старта — ещё $t_1$ Над стартом он пролетает в момент $2t_1$

Где вершина и когда мяч упадёт

Высота мяча зависит только от времени: $y(t)=v_yt-\dfrac{gt^2}{2}$ — это парабола, симметричная относительно момента наивысшего подъёма $\dfrac{v_y}{g}$ По условию $y(t_1)=y(2t_1)=h$ поэтому вершина — посередине:

\frac{v_y}{g}=1{,}5\,t_1.

Мяч упадёт, когда $y=0$ снова, — симметрично старту, в момент $T=2\cdot 1{,}5t_1=3t_1$

Траектория после удара, отражённая в стене, продолжает параболу. Точки на высоте

h

— в моменты

t_1

2t_1

вершина — в момент

1{,}5t_1

падение — в момент

3t_1

Связываем с высотой h

h=y(t_1)=v_yt_1-\frac{gt_1^2}{2}=1{,}5gt_1^2-0{,}5gt_1^2=gt_1^2\quad\Rightarrow\quad t_1=\sqrt{\frac{h}{g}}.

T=3\sqrt{\frac{h}{g}}=3\sqrt{\frac{6{,}4}{10}}=3\cdot 0{,}8=2{,}4\ \text{с}.

Проверка

При $h=6{,}4$ м: $t_1=0{,}8$ с, $v_y=1{,}5\cdot 10\cdot 0{,}8=12$ м/с. Проверим высоты: $y(0{,}8)=9{,}6-3{,}2=6{,}4$ м, $y(1{,}6)=19{,}2-12{,}8=6{,}4$ м — одинаковые. Падение: $y(2{,}4)=28{,}8-28{,}8=0$ Ответ не зависит ни от расстояния до стены, ни от горизонтальной скорости — в модели можно убедиться, меняя расстояние до стены.

Ответ

$T=3\sqrt{\dfrac{h}{g}}=2{,}4$ с.

Ответ

$T=3\sqrt{\dfrac{h}{g}}=2{,}4$ с.

Главная идея

Упругий удар о вертикальную стенку можно «убрать» зеркальным отражением. Высота зависит только от времени, и две точки на одной высоте задают вершину параболы.

Мяч отскакивает от вертикальной стенки упруго — отрази траекторию в стене и решай задачу как обычный бросок под углом.

Где легко ошибиться

Считать, что удар о стену происходит в высшей точке траектории, или что мяч над стартом пролетает на спуске при той же горизонтальной координате без учёта удвоенного времени. Ни расстояние до стены, ни скорость для ответа не нужны.

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · физика · 10 класс · 2025/26 · отборочный этап, первый тур (1 попытка). Задача 3, версия с ID 4623 — первая в официальном файле; другие числовые версии этого номера (ID 4624, 4625, 4626) можно выбрать в модели.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 3) ↗ · Сайт олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение написано до знакомства с решением организатора; затем ответ совпадает с решением организатора («Решения Ф10 1 попытка 2025», стр. 1 ↗: (9/8)·h = (g/2)·(T/2)² ⇒ T = 3√(h/g)).

Продолжить тему: Кинематика →

Тема, знания и приёмы

Кинематика · Начальный вход

Движение тела, брошенного под углом
Упругий удар о неподвижную стенку
Симметрия параболы

Приёмы решения: Симметрия и попарное соответствие · Закон отражения

Задать вопрос по задаче →