Физтех 2025/26 · Физика · 10 кл., №5 — решение · Отборочный этап

Условие

Шайба, движущаяся по горизонтальному столу, попадает на широкую ленту конвейера, которая находится в одной горизонтальной плоскости с поверхностью стола и движется с постоянной скоростью $V = 1{,}5$ м/с. В момент перехода на ленту скорость шайбы в лабораторной системе отсчета перпендикулярна краю ленты и по величине больше скорости ленты в $n = 2{,}5$ раза. Коэффициент трения скольжения шайбы по ленте $\mu = 0{,}4$ Ускорение свободного падения $g = 10$ м/с $^2$ Шайба скользит по ленте и через некоторое время останавливается на ленте.

Найдите модуль перемещения шайбы в лабораторной системе отсчета за время движения шайбы относительно ленты. Ответ приведите в [м] с округлением до десятых.

О задаче · 10 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Отборочный этап, первый тур (1 попытка)
Предмет / класс: Физика · 10 класс
Сезон: 2025/26

В какой системе отсчёта сила трения всё время направлена одинаково? Перейди в систему ленты: какая там начальная скорость шайбы и как она меняется? Потом вернись к столу. В модели можно смотреть на движение со стола и с ленты.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеШайба на ленте

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Шайба на ленте

Как выглядит движение шайбы со стола и с ленты? В какой системе его проще описать?

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Без JavaScript модель не работает. Нарисуй вектор скорости шайбы относительно ленты (−1,5; 3,75) м/с и отложи по нему половину пути торможения; добавь сдвиг ленты.

Подсказка 1

В системе ленты начальная скорость шайбы — это $\vec v-\vec V$ перпендикулярно краю $v=nV=3{,}75$ м/с и вдоль ленты $-V$ Модуль $u_0=\sqrt{v^2+V^2}$ Трение направлено против этой скорости и не меняет направления — шайба тормозит по прямой с ускорением $\mu g$

Подсказка 2

Время скольжения $\tau=\dfrac{u_0}{\mu g}$ Перемещение относительно ленты $\dfrac{u_0\tau}{2}$ вдоль $\vec u_0$ за то же время лента сдвинулась на $V\tau$ Сложи эти два вектора.

Разобрать решение по шагам

Переходим в систему ленты

Лента движется равномерно, её система отсчёта инерциальная. Направим ось $x$ вдоль движения ленты, ось $y$ — перпендикулярно краю, туда, куда въезжает шайба. Начальная скорость шайбы относительно ленты:

\vec u_0=\vec v-\vec V=(-V,\ nV),\qquad u_0=V\sqrt{1+n^2}=1{,}5\sqrt{7{,}25}\approx 4{,}04\ \text{м/с}.

Сила трения направлена против скорости относительно ленты. Пока шайба тормозит, направление этой скорости не меняется, поэтому в системе ленты шайба движется по прямой с замедлением $\mu g=4$ м/с $^2$

Время и перемещение относительно ленты

Шайба остановится относительно ленты через

\tau=\frac{u_0}{\mu g}.

За это время относительно ленты она сместится на $\dfrac{u_0\tau}{2}$ вдоль $\vec u_0$ то есть на вектор $\dfrac{\tau}{2}\vec u_0=\dfrac{\tau}{2}(-V,\ nV)$ .

Возвращаемся к столу

Лента за время $\tau$ сдвинулась на $(V\tau,\ 0)$ Перемещение шайбы относительно стола — сумма:

\vec s=\left(-\frac{V\tau}{2}+V\tau,\ \frac{nV\tau}{2}\right)=\frac{V\tau}{2}(1,\ n),\qquad s=\frac{V\tau}{2}\sqrt{1+n^2}=\frac{u_0\tau}{2}=\frac{u_0^2}{2\mu g}.

s=\frac{V^2(1+n^2)}{2\mu g}=\frac{2{,}25\cdot 7{,}25}{8}\approx 2{,}04\ \text{м}.

С округлением до десятых: $2{,}0$ м.

Проверка

Интересно, что модуль перемещения относительно стола совпал с модулем перемещения относительно ленты: векторы $(-1,n)$ и $(1,n)$ имеют одинаковую длину. Проверка через время: $\tau=\dfrac{4{,}04}{4}\approx 1{,}01$ с, лента ушла на $1{,}51$ м, поперёк шайба сместилась на $\dfrac{3{,}75\cdot 1{,}01}{2}\approx 1{,}89$ м, вдоль — на $1{,}51-0{,}76=0{,}76$ м; $\sqrt{1{,}89^2+0{,}76^2}\approx 2{,}04$ м. Численное интегрирование скорости в модели даёт то же.

Ответ

$s=\dfrac{V^2(1+n^2)}{2\mu g}\approx 2{,}0$ м.

Ответ

$s=\dfrac{V^2(1+n^2)}{2\mu g}\approx 2{,}0$ м.

Главная идея

В системе ленты сила трения не меняет направления, и движение шайбы — простое прямолинейное торможение. Перемещение относительно стола — сумма перемещения относительно ленты и перемещения самой ленты.

Тело скользит по движущейся поверхности — переходи в систему этой поверхности: там трение противоположно скорости и направление движения не меняется.

Где легко ошибиться

Считать, что в лабораторной системе трение направлено против скорости шайбы относительно стола, или забыть сложить перемещение с движением ленты (ответ $\dfrac{(nV)^2}{2\mu g}\approx 1{,}76$ м).

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · физика · 10 класс · 2025/26 · отборочный этап, первый тур (1 попытка). Задача 5, версия с ID 4631 — первая в официальном файле; другие числовые версии этого номера (ID 4632, 4633, 4634) можно выбрать в модели.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 7) ↗ · Сайт олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение написано до знакомства с решением организатора; затем ответ совпадает с решением организатора («Решения Ф10 1 попытка 2025», стр. 1 ↗: U = √((nV)² + V²) = √(n² + 1)·V; a = μg, a⃗ ↑↓ U⃗; T = U/a = √(n² + 1)·V/(μg); r⃗(t) = 0,5·(V⃗(0) + V⃗(t))·t; |V⃗(0) + V⃗(T)| = U ⇒ |r⃗(T)| = U²/(2μg) = (n² + 1)·V²/(2μg)).

Продолжить тему: Силы и ускорение →

Тема, знания и приёмы

Силы и ускорение · Начальный вход

Закон сложения скоростей и перемещений
Сила трения скольжения
Равнозамедленное движение

Приёмы решения: Относительное движение · Уравнение сил

Задать вопрос по задаче →