Физтех 2025/26 · Физика · 10 кл., №2 — решение · Отборочный этап

Условие

При подходе к станции поезд метро движется по прямой равнозамедленно и проходит последовательно два одинаковых отрезка пути. На первом отрезке средняя скорость поезда $V_1 = 25$ м/с, на втором отрезке средняя скорость $V_2 = 14$ м/с.

Найдите мгновенную скорость поезда на границе между первым и вторым отрезками. В ответе укажите целое число в [м/с].

О задаче · 10 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Отборочный этап, первый тур (1 попытка)
Предмет / класс: Физика · 10 класс
Сезон: 2025/26

Чему равна средняя скорость при равнозамедленном движении, если известны скорости в начале и в конце отрезка? Отрезки одинаковые, но проходятся за разное время. В модели можно подобрать скорость на границе так, чтобы торможение было одним и тем же на обоих отрезках.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеПодобрать скорость на границе

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Подобрать скорость на границе

Подбери скорость на границе так, чтобы график скорости стал одной прямой. Больше она или меньше среднего арифметического V₁ и V₂?

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Без JavaScript модель не работает. Возьми v = 19,5 м/с и v = 21 м/с; для каждого найди скорости в концах, времена на отрезках по 100 м и сравни замедления.

Подсказка 1

При постоянном ускорении средняя скорость на отрезке равна полусумме скоростей на его концах. Обозначь $v$ — скорость на границе, $v_0$ и $v_2$ — в начале и в конце. Тогда $v_0=2V_1-v$ $v_2=2V_2-v$

Подсказка 2

Ускорение одно и то же: изменение скорости делённое на время. Время на отрезке длины $s$ — это $s/V_1$ и $s/V_2$ Приравняй $\dfrac{v_0-v}{s/V_1}=\dfrac{v-v_2}{s/V_2}$ — длина $s$ сократится.

Разобрать решение по шагам

Средняя скорость при постоянном ускорении

При равнозамедленном движении скорость меняется линейно со временем, поэтому средняя скорость на отрезке равна полусумме скоростей на его концах. Обозначим $v_0$ — скорость в начале первого отрезка, $v$ — на границе, $v_2$ — в конце второго:

V_1=\frac{v_0+v}{2},\qquad V_2=\frac{v+v_2}{2}\quad\Rightarrow\quad v_0=2V_1-v,\qquad v_2=2V_2-v.

Одинаковое ускорение на двух отрезках

Пусть длина каждого отрезка $s$ Времена: $t_1=\dfrac{s}{V_1}$ $t_2=\dfrac{s}{V_2}$ Ускорение постоянно, поэтому

\frac{v_0-v}{t_1}=\frac{v-v_2}{t_2}\quad\Rightarrow\quad (2V_1-2v)\frac{V_1}{s}=(2v-2V_2)\frac{V_2}{s}.

Сокращаем $2/s$ $V_1^2-vV_1=vV_2-V_2^2$ откуда

v=\frac{V_1^2+V_2^2}{V_1+V_2}.

Числа

v=\frac{25^2+14^2}{25+14}=\frac{625+196}{39}=\frac{821}{39}\approx 21{,}05\ \text{м/с}.

Целое число: $21$ м/с.

Проверка

Скорости на концах: $v_0=50-21{,}05=28{,}95$ м/с, $v_2=28-21{,}05=6{,}95$ м/с — поезд ещё движется, всё согласовано. Для $s=100$ м: $t_1=4$ с, $t_2\approx 7{,}14$ с; замедления $\dfrac{7{,}90}{4}\approx 1{,}974$ и $\dfrac{14{,}10}{7{,}14}\approx 1{,}974$ м/с $^2$ — одинаковые. Скорость на границе больше среднего арифметического $\dfrac{25+14}{2}=19{,}5$ второй отрезок поезд проходит дольше.

Ответ

$v=\dfrac{V_1^2+V_2^2}{V_1+V_2}\approx 21$ м/с.

Ответ

$v=\dfrac{V_1^2+V_2^2}{V_1+V_2}\approx 21$ м/с.

Главная идея

При постоянном ускорении средняя скорость — полусумма крайних скоростей. Равенство ускорений на двух отрезках даёт одно уравнение на скорость в общей точке.

Если в задаче о равноускоренном движении даны средние скорости на участках, выражай скорости в концах через полусуммы и связывай участки одинаковым ускорением.

Где легко ошибиться

Ответить средним арифметическим $\dfrac{V_1+V_2}{2}=19{,}5\approx 20$ м/с. Так было бы, если бы отрезки были одинаковыми по времени, а не по пути.

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · физика · 10 класс · 2025/26 · отборочный этап, первый тур (1 попытка). Задача 2, версия с ID 4619 — первая в официальном файле; другие числовые версии этого номера (ID 4620, 4621, 4622) можно выбрать в модели.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 2) ↗ · Сайт олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение написано до знакомства с решением организатора; затем ответ совпадает с решением организатора («Решения Ф10 1 попытка 2025», стр. 1 ↗: V1T1 = V2T2; V = V1 − 0,5aT1 = V2 + 0,5aT2 ⇒ 0,5aT1 = (V1 − V2)/(V1 + V2)·V2 ⇒ V = (V1² + V2²)/(V1 + V2)).

Продолжить тему: Кинематика →

Тема, знания и приёмы

Кинематика · Нужна школьная база

Равноускоренное движение
Средняя скорость
График скорости

Приёмы решения: Среднее и взвешенное среднее

Задать вопрос по задаче →